Системы линейных однородных уравнений
Определение 7.
Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если свободные члены равны нулю.
. (7)
Очевидно !!!
1. Значения 
- решение системы (7). Следовательно, однородные системы совместны. Матрицы А~В,так как они отличаются нулевым столбцом, т. е. 
и по теореме Кронекера – Капелли система совместна.
2. Если 
, решений множество и нулевое будет среди них.
Для отыскания ненулевых решений (7) берут любые 
уравнений, таких, что коэффициенты образуют 
. Из этих уравнений r неизвестные также выражаются через остальные 
, называемые свободными.
| |
, то очевидно, что можно сформировать линейно-независимых решений, принимая значения свободных переменных в соответствии с
. (9)
Определение 8.
Совокупность решений, полученная на основе полной линейно-независимой системы значений свободных переменных, называется фундаментальной.
ПРИМЕР 3:
, 
.
Это однородная система ( 
, 
). Примем 
свободных неизвестных. Пусть 
- свободные. Выразим оставшиеся переменные через свободные переменные. Вычтем из второго уравнения удвоенное первое и получим
.
Из третьего уравнения вычтем первое, умноженное на 6, и получим
.
Тогда система решений имеет вид 
. Примем значения такие, что 
, 
и вектор решения 
. Примем 
, 
и вектор решения 
. Поскольку вектора 
и 
линейно независимы, множество решений будет определяться линейной комбинацией этих векторов 
.
4. Метод Жордана – Гаусса
Поскольку 
, то, если путем элементарных преобразований свести матрицу A к единичной матрице 
, получим 
. То есть для решения системы необходимо путем элементарных преобразований свести расширенную матрицу к единичной диагональной. Тогда столбец свободных членов примет значения, соответствующие решению
| |
~ 
~
~ 
.
Таким образом, последний столбец соответствует решению системы линейных уравнений 
. Если в системе уравнений , то принимаются определенные значения свободных переменных в соответствии с (9). Полученные коэффициенты добавляются к столбцу свободных членов и решения находятся по описанному выше алгоритму.
ПРИМЕР 4.
, 
~ 
~ 
~ 
~ 
~ 
~ 
.
Ответ сходится с решением методом Крамера.
| |
В лекции введено понятие «система линейных уравнений». Для правильного ее решения важно понимать и уметь вычислять определитель и ранг обычной и расширенной матриц. При возникновении затруднений в этом вопросе рекомендуется вернуться к двум прошлым лекциям. Видно, что методов решений множество. Далеко не все здесь представлены. Так метод матриц компактен, но не нагляден. Методы Крамера и Жордана – Гаусса более наглядны, однако необходимо большое количество операций при вычислении. За счет однотипности операций метод Жордана – Гаусса легче переводится на языки программирования. Известный еще со школы метод непосредственной подстановки наиболее нагляден и прост, но и он требует наибольшее количество вычислений, и переложить его на язык программирования практически невозможно. Важно отметить необходимость понятия «фундаментальное» решение. Отметим следующее:
- ранги обычной и расширенной матриц могут быть не равны, и система в этом случае не совместна;
- в случае их равенства решение может быть единственным (квадратная матрица) или их может быть множество (прямоугольная матрица);
- в матричном методе используется обратная матрица;
- в методе Крамера используются дополнительные определители;
- в методе Жордана – Гаусса необходимо свести основную матрицу к единичной;
- в однородных уравнениях правые части равны нулю;
- с помощью фундаментального решения системы однородных уравнений можно получить множество решений.
Литература
1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2001.
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа,1998.
4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.
Лекция 11