Основные свойства неопределенного интеграла.
1. 
(в частности, 
).
2. 
.
3. 
.
Необходимо знать интегралы основных элементарных функций (табличные интегралы):
 (  )
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Частные случаи формулы 
.
1°. 
.
2°. 
.
3°. 
.
4°. 
.
5°. 
.
6°. 
.
7°. 
.
8°. 
.
Для нахождения интегралов используются следующие методы.
1) Преобразование подынтегрального выражения, при помощи которого интеграл преобразуется к одному или нескольким табличным интегралам.
1°. 
2°. 
2) Подведение под знак дифференциала, основанное на формуле 
.
,
где 
.
1°. 
.
2°. 
3°. 
3) Замена переменной. Если 
, то
.
1°. 
.
2°. 
.
3°. 
.
4) Интегрирование по частям:
.
1°. 
.
2°. 
.
3° 
.
5) Интегрирование рациональных дробей вида 
(где 
, 
- многочлены) основано на представлении дроби 
в виде суммы многочлена 
и простейших рациональных дробей вида
.
Разложение рациональных дробей в сумму простых дробей осуществляется с помощью метода неопределенных коэффициентов, который будет продемонстрирован ниже, на частном примере.
Имеют место формулы
,
( 
).
Интеграл 
можно найти, выделяя полный квадрат в знаменателе: 
, с последующей заменой 
.
Интеграл 
сводится к интегралу следующего вида:
.
1°. ْ 
Составим комбинацию простых дробей, в знаменателях которых присутствуют все возможные делители знаменателя исходной функции:
После приведения этих пяти дробей к общему знаменателю, получим:
Приравняв числители полученной дроби и дроби 
, получим:
Необходимо, чтобы это соотношение было выполнено при всех значениях 
. Подставим в него пять (по числу неизвестных коэффициентов 
, 
, 
, 
, 
) различных значений 
. Получим систему линейных уравнений на , , , , : 
Можно показать, что у такой системы всегда существует единственное решение. Решив эту систему (например, методом Гаусса), получим требуемое представление 
, 
, 
, 
, 
:
Окончательно,
6) Функции, содержащие иррациональности, интегрируются в том случае, когда интеграл от них сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью какой-либо замены переменной. Приведем несколько примеров интегрируемых иррациональных функций.
) Интегралы вида
где 
- рациональная функция, а 
, ¼, 
- натуральные числа. Метод интегрирования - замена 
, где 
- наименьшее общее кратное чисел , ¼, .
) Интегралы вида 
сводятся к табличным при помощи замены 
.
) Интегралы 
, где 
, 
и 
- рациональные числа. Интегралы такого вида сводятся к элементарным только при следующих соотношениях параметров , и .
Если целое, то следует использовать замену , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей , .
Пусть теперь - наименьшее общее кратное знаменателей дробей , . Если 
- целое, то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены 
.
Если 
целое, то интегрирование осуществляется при помощи замены 
.
) Подстановки Эйлера. Они применяются к интегралам вида 
, где 
рациональная функция. Имеется три вида подстановок Эйлера.
;
;
,
где 
, 
-корни многочлена 
.
Тригонометрические замены. Для интегралов 
используется замена 
. Для интегралов 
используется замена 
. Для интегралов 
используется замена 
. В каждом из трех случаев получается интеграл от рациональной функции, зависящей от 
и 
.
7) Интегрирование выражений вида 
, где 
– рациональная функция от 
. В разных случаях используются замены 
, 
, 
, 
. Если ни одна из этих замен не позволяет получить интеграл от рациональной функции, то используется универсальная тригонометрическая подстановка 
. Тогда 
, 
, 
, 
и подынтегральное выражение сведется к рациональной дроби.
В задачах 3.5.а-3.5.ж. требуется вычислить неопределенные интегралы.
Задача 3.5.а. 
.
Решение. 
.
Задача 3.5.б. 
.
Решение. 
1) 
2) 
.
Ответ: 
.
Задача 3.5.в. 
.
Решение. 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Задача 3.5.г. 
.
Решение. Интегрируем по частям: 
= 
.
Интегралы вида 
находятся с помощью подстановки 
.
Задача 3.5.д. 
.
Решение. 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Задача 3.5.е. 
.
Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простых дробей. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
,
,
,
откуда
Û 
Û 
Следовательно,
1) 
;
2) 
= 
.
Ответ: 
.
Интегралы вида 
для нечетного 
можно находить при помощи подстановки 
.
Задача 3.5.е. 
.
Решение. 
.
Разложим подынтегральное выражение в сумму простых дробей:
,
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными A, B, C, D:
Û 
Û 
Откуда
Окончательно, получим 
. Следовательно, разложение дроби в сумму простейших имеет вид:
.
В результате, получаем
= 
= 
= 
.
Задача 3.5.ж. 
.
Решение. Используем универсальную тригонометрическую подстановку.
= 
= 
= 
= 
= 
.