Задача 4.3.гИсследовать сходимость ряда .

Решение. Подберем ряд для сравнения. С учетом неравенств , , выполненных при всех , имеем

.

Для ряда воспользуемся интегральным признаком Коши. Положим . Тогда

.

Следовательно, и ряд , и ряд сходятся.

Функциональным рядом называется выражение вида

Для каждого фиксированного значения параметра сходимость ряда определяется как предел частичных сумм соответствующего числового ряда. Область сходимости – множество значений , при которых ряд сходится. Для степенного ряда

областью сходимости является интервал , где . Здесь обозначает верхний предел последовательности , то есть наибольший из пределов всех сходящихся подпоследовательностей . Внутри данного интервала ряд сходится абсолютно (то есть сходится ряд, составленный из модулей членов). Сходимость степенного ряда в граничных точках исследуется отдельно.

Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд

где

.

Если значение равно сумме ее ряда Тейлора , то функция называется аналитической в точке . Ряд Тейлора определен однозначно в том смысле что, если для какого-либо степенного ряда, то тогда . Степенные ряды внутри области сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать: если , то тогда

,

Задача 4.4. Выписать ряд Тейлора функции с центром в точке . Найти область сходимости ряда.

Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии:

при .

Для этого сначала поделим с остатком числитель дроби на знаменатель:

.

Далее,

где .

Следовательно,

.

Окончательно,

Чтобы найти область сходимости ряда, воспользуемся признаком Даламбера. Зафиксируем и рассмотрим ряд из модулей:

Тогда общий член ряда записывается формулой , , и, следовательно,

Согласно признаку Даламбера при ряд сходится, а при ряд расходится. Интервал сходимости ряда . Исследуем поведение ряда в граничных точках . При получаем:

.

Поскольку , то необходимое условие сходимости ряда оказывается невыполненным, и ряд расходится. При ряд расходится по той же причине.

Задача 4.5. Вычислить приближенно с точностью до e=0.001 значение интеграла , используя разложение подынтегральной функции в ряд Тейлора.

Решение. Воспользуемся формулой

Подставляя вместо , получим:

.

Интегрируя почленно, получим

Чтобы понять, сколько членов ряда нужно взять, чтобы найти сумму ряда с точностью до 0.001, воспользуемся оценкой остатка лейбницевского ряда: сумма отброшенных слагаемых по модулю не превосходит первого отброшенного числа. Таким образом, остается решить, для какого натурального числа впервые будет выполнено неравенство

.

Последовательно подставляя в данное неравенство значения , убеждаемся, что впервые неравенство оказывается выполненным при :

.

В частности, все слагаемые ряда, начиная с , можно отбросить.

Ответ: .

Рядом Фурье на интервале называется функциональный ряд вида

Если функция непрерывна (или имеет конечное число разрывов первого рода) на интервале , и ее производная существует всюду, кроме конечного числа точек, и при этом ограничена по модулю , то значение в точках непрерывности равно сумме ряда Фурье

,

коэффициенты и которого определяются по формулам

, , , ,.

Задача 4.6. Представить функцию рядом Фурье в интервале (0,2p).

Решение. Имеем:

.

Окончательно, получаем:

.

Литература.

1. Щипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. - М., Высшая школа, 2001.

2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. 2 издание. Юнити - Дана, 2002.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М., Наука, 1984.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М., Наука, 1988.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ТФКП. - М., Наука, 1985.

6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М., Наука, 1984.

7. Борисова О.Н. Математика: Учебная программа и методические материалы. - Королев: КИУЭС, 2003, 26 с.

СОДЕРЖАНИЕ

• ⇐ Назад
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 910