Определенные интегралы. Площади плоских фигур.
Определенный интеграл (Римана) позволяет распространить формулу площади прямоугольника на площадь более или менее произвольной плоской геометрической фигуры. В основе понятия определенного интеграла лежит так называемая интегральная сумма, определяемая следующим образом. Пусть задана функция 
, определенная на отрезке 
. Разобъем отрезок произвольным образом на 
частей 
, 
¼, 
( 
, 
). В частности, можно разбить на равных частей, тогда длина каждого отрезка разбиения будет равна 
. В общем случае, пусть
.
Возьмем, опять же произвольным образом, внутри каждого из отрезков 
по точке 
. Интегральной суммой функции на по разбиению 
называется число
Если 
, то интегральная сумма есть площадь фигуры, состоящей из прямоугольников со сторонами и , 
. Интуитивно ясно, что, чем меньше максимальная длина отрезков разбиения 
, тем точнее эта фигура из прямоугольников приближает криволинейную трапецию с основаниями 
, 
и “боковыми сторонами” 
, 
. Интеграл от функции по отрезку есть предел 
по всевозможным разбиениям 
, когда 
.
Предел понимается здесь в обычном смысле: число 
называется определенным интегралом от по (обозначается как 
), если для произвольного 
найдется такое 
, что, как только разбиение отрезка удовлетворяет условию 
, интегральная сумма , отвечающая этому разбиению, будет отличаться от не больше, чем на 
: 
.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Значение (с точностью до знака) есть площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиком функции , осью абсцисс и прямыми , . В частности, если на отрезке заданы две функции и 
, причем 
, то площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиками этих двух функций, равна 
.
Связь между определенным и неопределенным интегралом заключена в формуле Ньютона-Лейбница:
,
или, в другой записи, 
, где 
- произвольная первообразная функции .
Справедливы следующие две формулы – замена переменной интегрирования и интегрирование по частям.
Замена переменной.
Пусть 
- произвольная непрерывно дифференцируемая функция, определенная на некотором отрезке 
, причем 
, 
, и 
при любом 
. Тогда
Интегрирование по частям.
.
Задача 3.6.а. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
.
Решение. Заметим, что первое уравнение является уравнением параболы, ветви которой направлены вправо. Второе уравнение определяет прямую линию.
Найдем пересечения графиков функций и сделаем рисунок. Для этого решим систему
Û 
откуда 
, что дает 
и 
.
3 
0 
Из рисунка видно, что фигура состоит из двух частей. При 
получаем сегмент параболы 
. При 
криволинейная трапеция заключена между прямой и параболой 
. Следовательно, площадь фигуры равна сумме двух следующих двух интегралов:
Для первого интеграла получаем:
Для второго интеграла получаем:
Таким образом, 
. Ответ: 
.
Задача 3.6.б. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
, , 
.
Решение. На отрезке 
выполняется неравенство 
. Поэтому найдем площадь, используя формулу 
.
= 
.