Определенные интегралы. Площади плоских фигур.
Определенный интеграл (Римана) позволяет распространить формулу площади прямоугольника на площадь более или менее произвольной плоской геометрической фигуры. В основе понятия определенного интеграла лежит так называемая интегральная сумма, определяемая следующим образом. Пусть задана функция , определенная на отрезке
. Разобъем отрезок
произвольным образом на
частей
,
¼,
(
,
). В частности, можно разбить
на
равных частей, тогда длина каждого отрезка разбиения будет равна
. В общем случае, пусть
.
Возьмем, опять же произвольным образом, внутри каждого из отрезков по точке
. Интегральной суммой функции
на
по разбиению
называется число
Если , то интегральная сумма есть площадь фигуры, состоящей из прямоугольников со сторонами
и
,
. Интуитивно ясно, что, чем меньше максимальная длина отрезков разбиения
, тем точнее эта фигура из прямоугольников приближает криволинейную трапецию с основаниями
,
и “боковыми сторонами”
,
. Интеграл от функции
по отрезку
есть предел
по всевозможным разбиениям
, когда
.
Предел понимается здесь в обычном смысле: число называется определенным интегралом от
по
(обозначается как
), если для произвольного
найдется такое
, что, как только разбиение
отрезка
удовлетворяет условию
, интегральная сумма
, отвечающая этому разбиению, будет отличаться от
не больше, чем на
:
.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Значение (с точностью до знака) есть площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиком функции
, осью абсцисс и прямыми
,
. В частности, если на отрезке
заданы две функции
и
, причем
, то площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиками этих двух функций, равна
.
Связь между определенным и неопределенным интегралом заключена в формуле Ньютона-Лейбница:
,
или, в другой записи, , где
- произвольная первообразная функции
.
Справедливы следующие две формулы – замена переменной интегрирования и интегрирование по частям.
Замена переменной.
Пусть - произвольная непрерывно дифференцируемая функция, определенная на некотором отрезке
, причем
,
, и
при любом
. Тогда
Интегрирование по частям.
.
Задача 3.6.а. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,
.
Решение. Заметим, что первое уравнение является уравнением параболы, ветви которой направлены вправо. Второе уравнение определяет прямую линию.
Найдем пересечения графиков функций и сделаем рисунок. Для этого решим систему
Û
откуда , что дает
и
.
3
0
Из рисунка видно, что фигура состоит из двух частей. При получаем сегмент параболы
. При
криволинейная трапеция заключена между прямой и параболой
. Следовательно, площадь фигуры равна сумме двух следующих двух интегралов:
Для первого интеграла получаем:
Для второго интеграла получаем:
Таким образом, . Ответ:
.
Задача 3.6.б. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,
,
.
Решение. На отрезке выполняется неравенство
. Поэтому найдем площадь, используя формулу
.
=
.