Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Рассмотрим уравнение
где 
и 
константы, а функция 
в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов
, 
, 
,
- произвольный многочлен степени 
. Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение
назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть 
, 
– корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения
имеет вид
,
если , - два различных вещественных числа; имеет вид
если 
и, наконец, решение имеет вид
если 
, 
- комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения 
и произвольного частного решения неоднородного уравнения 
. Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.
Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число 
. Если 
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть
если 
, и в виде
если 
или 
. Здесь 
, 
многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1.
Задача 4.2.а. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение
Û 
Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид
.
Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части 
, частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Получаем:
,
.
Подставляя 
, 
, 
в исходное уравнение, получаем:
Сокращая на 
и приводя подобные, получим
,
,
откуда
Û 
Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид
.
Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:
,
Поскольку 
, второе уравнение имеет вид 
. Решаем систему линейных уравнений на неизвестные 
и 
:
Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:
Û 
.
Далее,
.
Ответ: 
.
Задача 4.2.б.Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:
,
откуда
,
где 
- мнимая единица. Следовательно, 
, 
, и общее решение однородного уравнения есть
.
Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
.
Подставляя в исходное уравнение, с учетом того, что
,
получим:
откуда
и, следовательно,
, 
.
Таким образом, частным решением неоднородного уравнения является функция
.
Общее решение неоднородного уравнения может быть записано в виде
.
Найдем константы и , при которых выполнены краевые условия
, .
Так как
,
получаем систему линейных уравнений на и :
откуда 
.