Система, матрица которой является треугольной с диагональными элементами , называется треугольной. Система, матрица которой является трапециевидной, называется трапециевидной.
Решением системы называется всякий упорядоченный набор чисел , обращающий каждое уравнение системы в равенство. Совокупность всех решений называется множеством решений системы.
Система называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение; определённой, если она имеет только одно решение; неопределённой, если она имеет бесконечно много решений; несовместной, если она не имеет решений.
Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение . Треугольная система является определённой, трапециевидная система – неопределённой.
Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Элементарными преобразованиями систем уравнений называются:
1) перестановка уравнений;
2) перестановка местами слагаемых в каждом из уравнений системы;
3) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
4)прибавление к уравнению другого, умноженного на любое число;
5) вычёркивание уравнения вида: .
Основными точными методами решения систем линейных уравнений являются методы: Крамера, обратной матрицы и Гаусса.
Если число уравнений в системе совпадает с числом неизвестных
и определитель матрицы системы
, то система имеет единственное решение, которое можно найти:
а) методом Крамера по формулам: ,
, где
- определитель, получаемый из определителя матрицы системы
заменой
-ого столбца на столбец свободных членов;
б) методом обратной матрицы по формуле .
Методом Гаусса находят решение произвольной системы линейных уравнений. Метод состоит в приведении системы уравнений, с помощью элементарных преобразований, к системе специального вида, эквивалентной исходной, решение которой очевидно. Преобразования по методу Гаусса выполняют в два этапа. Первый этап называют прямым ходом, второй - обратным.
В результате прямого хода выясняют: совместна или нет система и если совместна то, сколько имеет решений - одно или бесконечно много. Преобразования прямого хода выполняют, как правило, над расширенной матрицей системы , которую получают, приписывая справа к матрице системы
столбец свободных членов
. В результате элементарных преобразований строк и перестановкой столбцов, матрица системы
должна быть приведена к матрице
треугольного или трапециевидного вида с элементами
. При этом, система уравнений, матрица которой
, является треугольной с диагональными элементами
, будет иметь единственное решение; система уравнений, матрица которой
, является трапециевидной с элементами
, будет иметь бесконечно много решений. Если, при выполнении преобразований расширенной матрицы
, в преобразованной матрице
появится строка
, где
, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.
В результатеобратного хода находят решение системы. Преобразования обратного хода часто выполняют непосредственно над уравнениями системы, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода. В случае единственного решения, его получают, находя последовательно значения всех неизвестных из уравнений системы, начиная с последнего.
Тема 4. Векторы.
Арифметическим вектором называют упорядоченную совокупность из чисел:
и обозначают
. Числа
называют компонентами вектора
, число компонент называют его размерностью.
Векторы и
называют равными, если они одинаковой размерности и их соответствующие компоненты равны:
,
.
Суммой векторов и
одной размерности, называют вектор
той же размерности, для которого:
,
.
Произведением вектора на число
называют вектор
той же размерности, для которого:
,
.
Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называют векторнымпространствоми обозначают
.
Скалярным произведением двух арифметических векторов и
называют число:
.
Два вектора и
называют ортогональными, если
.
Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок, задаваемый упорядоченной парой точек (началом и концом вектора). Обозначают вектор или
. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается
или
. Углом между векторами
и
называется угол
,
, на который следует повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора, при условии, что их начала совпадают. Проекцией вектора
на вектор
называется число
.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Векторы и
называются равными и пишут
, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Векторы
и
называются противоположными и пишут
, если они коллинеарны, направлены в разные стороны и имеют равные длины.
Суммой векторов и
называется вектор
, соединяющий начало вектора
и конец вектора
, при условии, что конец вектора
совпадает с началом вектора
(правило треугольника). Произведением вектора
на действительное число
называется вектор
:
1) коллинеарный вектору ; 2) имеющий длину
; 3) направленный одинаково с вектором
, если
, и противоположно, если
.
Ортом вектора , называется вектор
, имеющий единичную длину и направление вектора
:
.
Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов, базисом на плоскости
– упорядоченная пара неколлинеарных векторов, базисом на прямой
– любой ненулевой вектор на этой прямой. Базис, в котором все векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, называется ортонормированным. Векторы ортонормированного базиса обозначаются:
и
, и называются базисными ортами. Различают правый и левый ортонормированные базисы. Базис
-называется правым, если кратчайший поворот от
к
совершается против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый. Базис
-называется правым, если из конца вектора
кратчайший поворот от вектора
к
виден совершающимся против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый.
Условием коллинеарности векторов и
является равенство:
, где
- некоторое число. Условием компланарности векторов
,
и
является равенство:
, где
- некоторые числа.
Всякий геометрический вектор может быть разложен единственным образом по векторам базиса, коэффициенты разложения называются при этом координатами вектора в данном базисе. Например, если - базис
и
, то всегда существует единственное разложение:
, где числа
- координаты вектора
в базисе
, при этом пишут
. Если в
зафиксирован ортонормированный базис
и
, то равносильны записи:
и
(в записи вектора в координатной форме ортонормированный базис не указывают).
Представление геометрических векторов в координатной форме, позволяет выполнять действия над ними, как над арифметическими векторами:
;
.
Декартовой прямоугольной системой координатв пространстве называется совокупность точки (начало координат) и правого ортонормированного базиса
и обозначается
. Прямые
,
,
, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: первая – осью абсцисс, вторая – осью ординат, третья – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Аналогично вводится система координат на плоскости:
.
Пусть - произвольная точка пространства, в котором введена система координат
=
. Радиус-вектором точки
называется вектор
, который всегда единственным образом можно представить в виде:
. Числа
, являющиеся координатами радиус-вектора, совпадают с проекциями вектора
на базисные орты
и
(на координатные оси
и
). Координатами точки
в системе координат
называются координаты её радиус-вектора
и пишут
. В свою очередь, координаты точки
полностью определяют её радиус-вектор
. Всякий геометрический вектор
в системе координат
, всегда можно представить как радиус-вектор некоторой точки и записать в виде:
.
Длина вектора
, заданного координатами
, определяется формулой:
. Направляющими косинусами вектора
называются числа:
,
,
, при этом
.
Координаты вектора , заданного точками
и
определяются по формуле:
. Расстояние
между точками
и
определяется как длина вектора
и находится по формуле:
.
Координаты точки делящей отрезок
пополам находятся по формулам:
,
,
.
Скалярным произведениемвекторов и
называется число
. Скалярное произведение обладает свойствами:
1) ; 2)
где
- число;
3) ; 4)
5) ; 6)
,
,
,
,
,
. Для векторов
и
, заданных своими координатами
,
скалярное произведение вычисляется по формуле:
.
Скалярное произведение применяют: 1) для вычисления угла между векторами и
по формуле:
; 2) для вычисления проекции вектора
на вектор
по формуле:
; 3) в качестве условия перпендикулярности векторов
и
:
.
Векторным произведением векторов и
называется вектор
, определяемый условиями: 1)
;
2) и
; 3)
- правая тройка векторов.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если из конца третьего вектора
, кратчайший поворот от первого вектора
ко второму
, виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройка
называется левой.
Векторное произведение обладает свойствами:
1) ; 2)
,где
- число;
3) ; 4)
5)
;
6) ,
,
,
,
,
.
Для векторов и
, заданных координатами
,
векторное произведение вычисляется по формуле:
.
Векторное произведение применяют: 1) для вычисления площадей треугольника и параллелограмма, построенных на векторах
и
, как на сторонах, по формуле:
; 2) в качестве условия параллельности векторов
и
:
.
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов ,
и
называется число
.
Смешанное произведение обладает свойствами:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
и
-компланарны
;