Основные правила дифференцирования элементарных функций.

1. Если и дифференцируемые функции, - постоянная, то:

   
  ,
  ,

2.Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и имеет производную:

или кратко ..

При дифференцировании сложных функций для производной используют обозначения типа там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведётся дифференцирование.

Производной 2-ого порядкаот функции называется производная от её первой производной и обозначается , т. е. . В общем производной порядка ( -ой производной)называется производная от -ой производной и обозначается , т.е. .Для производной используется также обозначение . Производная функции вычисляется её последовательным дифференцированием: , , , …, .

Дифференциаломфункции в точке называется выражение , т.е. . В частности, для функции имеем , т.е. дифференциал независимого переменного совпадает с приращением . Поэтому дифференциал функции записывается в виде .

Дифференциалом 2-ого порядкафункции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .

Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

, где .

Чем меньше значение , тем точнее приближённая формула.

Частной производной (1-ого порядка) функции в точке по переменной называется предел , если этот предел существует. Частную производную обозначают или .

Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:

, ( ).

Производные ( ) называются смешанными. Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Для функции частные производные обозначаются:

, , , , , ,… или ,….

Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.

Полным дифференциалом функции в точке называется выражение вида , где .

Дифференциалом 2-ого порядкафункции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .

Для функции справедливы формулы:

, .

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле: . В частности, для функции по формуле: , где , . Чем меньше значение , тем точнее формула.

Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: ,

уравнение нормали - вид: .

Правило Лопиталя. Предел отношения двух дифференцируемых или бесконечно малых или бесконечно больших функций при ( - число или символ ) равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:

.

Правило Лопиталя используют для раскрытия неопределённостей видов и . На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приёмами вычисления пределов. В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила.

Раскрытие неопределённостей видов , путём преобразований:

,

приводится к раскрытию неопределенностей видов и .

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если для любых , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство ( ).

Если функция дифференцируема на интервале и ( ) при всех , то функция возрастает (убывает) на .

Точка , принадлежащая области определения функции , называется критической точкойфункции, если в этой точке или не существует. Критические точки функции разбивают её область определения на интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство ( ), а число - минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума.Если - точка экстремума функции , то или не существует.

Достаточное условие экстремума. Пустьфункция дифференцируема в окрестности точки , в которой или не существует. Тогда, если производная , при переходе слева направо через точку : 1) меняет знак с «+» на « », то - точка максимума; 2) меняет знак с знак с « » на «+», то - точка минимума; 3) сохраняет знак, то не является точкой экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке достигается или во внутренних критических точках или на концах отрезка.

Функция называется выпуклой (вогнутой) на интервале , если её график лежит под касательной (над касательной), проведённой к графику данной функции, в любой точке интервала .

Если функция дважды дифференцируема на интервале и ( ) при всех , то функция является вогнутой (выпуклой) на .

Точка , принадлежащая области определения функции , называется точкой перегибафункции, если при переходе через неё меняется направление выпуклости функции. Точка при этом называется точкой перегиба графика функции.

Точка называется точкой возможного перегибафункции , если в этой точке или не существует. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы выпуклости и вогнутости.

Необходимое условие перегиба.Если - точка перегиба функции , то или не существует.

Достаточное условие перегиба.Пустьфункция дважды дифференцируема в окрестности точки , в которой или не существует. Тогда, если производная , при переходе через точку меняет знак, то - точка перегиба.

Для построения графика функции нужно:

1) найти область определения функции;

2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;

3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) найти асимптоты графика функции;

6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Точка , принадлежащая области определения функции , называется стационарной точкойфункции, если в этой точке каждая из её частных производных равна нулю, т.е. ,…, или .

Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство ( ).

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке , то - стационарная точка функции.

Достаточное условие экстремума. Пусть - стационарная точка дважды дифференцируемой в точке функции . Тогда, если при всевозможных наборах значений , не равных одновременно нулю:

1) , то в точке функция имеет максимум; 2) , то в точке функция имеет минимум; 3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке функция не имеет экстремума.

В частности, функция в стационарной точке , при условии , где , , : 1) имеет максимум, если и ; 2) имеет минимум, если и ; 3) не имеет экстремума, если .