Статистические свойства энтропии

 

Объем пространства равен произведению ортогональных, т. е. независимых, координат. Фазовый объем системы, состоящей из независимых подсистем 1 и 2, равен произведению объемов, которые они занимают:

 

,

тогда из (2.13)

получаем

. (2.13б)

 

Энтропия системы равна сумме энтропий независимых подсистем.

Из

, (2.9а)

находим

.

Используем

, (2.13)

 

, (2.14)

получаем

. (2.14а)

Следовательно:

 

1. Число микросостояний и фазовый объем системы увеличиваются экспоненциально с ростом энтропии согласно

 

. (2.13а)

 

Чем больше микросостояний, тем меньше информации о системе. Увеличение энтропии означает уменьшение информации о системе и увеличение ее хаотичности. Для контроля и управления необходимо снижать энтропию системы.

 

2. Чем ниже температура, тем быстрее уменьшается энтропия с понижением энергии системы согласно (2.14а). Для лучшей контролируемости системы нужно снижать ее температуру и использовать переходы с малой энергией.

 

ПРИМЕР 1

 

Атом массой m с энергией e находится в объеме V, все точки и направления объема равноправны. Найти энергетическую плотность состояний. Получить температуру и давление, создаваемые фазовым ансамблем. Рассмотреть случай, когда в объеме находятся N атомов идеального газа.

Гамильтониан атома , система изолирована, тогда ,

 

.

 

Фазовый ансамбль находится в импульсном пространстве на сфере радиусом

.

 

Микросостояния фазового ансамбля отличаются направлениями вектора импульса. Число микросостояний, или фазовый объем внутри гиперповерхность :

при ,

 

. (2.2а)

 

Учтена независимость импульса от координат при отсутствии внешнего поля. Для плотности состояний

 

(2.9а)

получаем

. (П.2.5)

 

Плотность состояний классической частицы пропорциональна корню квадратному из энергии и объему, доступному для частицы.

 

 

Из (2.14)

находим

. (П.2.6)

 

Температура пропорциональна энергии частицы.

 

При

,

.

Из

, (2.12)

 

, (2.2а)

 

, (П.2.5)

 

, (П.2.6)

 

получаем давление, создаваемой фазовым ансамблем, соответствующим одной частице:

.

 

Получили уравнение идеального газа .

Частный случай – азот N2

 

При

, ,

получаем

, .

 

На интервале энергии находятся уровней, следовательно, классический газ имеет квазинепрерывный спектр.

 

Для N частиц с полной энергией E радиус сферы в импульсном пространстве

.

 

Для объема импульсного пространства в виде шара размерностью используем

, (П.2.1)

получаем

,

 

,

 

 

– температура пропорциональна средней энергии частицы.

Давление

 

удовлетворяет уравнению идеального газа .

 

ПРИМЕР 2

 

Система из N независимых одномерных гармонических осцилляторов имеет полную энергию Е. Найти энергетическую плотность состояний и температуру системы Т.

Гамильтониан системы

.

С учетом получаем

 

 

– уравнение эллипсоида в 2N-мерном пространстве,

 

N полуосей ,

 

N полуосей ,

 

.

 

Объем эллипсоида находим из (П.2.1а)

 

.

Число микросостояний

,

 

где ; – интервал эквидистантного спектра осциллятора, квант энергии.

Из (2.9а)

 

получаем энергетическую плотность состояний

 

.

Из (2.14)

находим

, .

Средняя энергия осциллятора

.