Производные высших порядков
Производная функции
есть также функция от x и называется производной первого порядка.
Если функция дифференцируема, то ее производная называется производ-ной второго порядкаи обозначается:
или
. Итак,
.
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается: или
. Итак,
.
Производная n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной порядка:
. (16.7.)
Производная порядка выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках, например, или
– производная пятого порядка.
Пример 16.10. Найти значение производной 4-го порядка для функции при
.
Решение. Находим последовательно
;
;
;
.
Следовательно, . ,
Пример 16.11. Найти производную n-го порядка для функции .
Решение. Находим последовательно
;
;
;
;
…………………….
.
,
Отметим, что в формуле (16.7.) принято , т.е. производная нуле-вого порядка есть сама функция.
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону . Как известно, производная первого порядка
.
Механический смысл производной второго порядка: вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения материальной точки, т.е. .
Пусть функция задана неявно в виде уравнения
.
Продифференцировав это уравнение по x и разрешив полученное уравнение отно-сительно , найдем производную первого порядка. Продифференцировав по x первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут x, y и
. Подставляя уже найденное значение
в выражение второй производной, выразим
через x и y.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и выше) порядка.
Пример 16.12. Найти производную второго порядка функции, заданной уравне-нием в точке
.
Решение. Находим производную первого порядка:
Þ
.
Используя равенство , дифференцируем обе его части, считая y функцией по x. Получаем
;
.
Отсюда
.
Следовательно, .
,
Пусть функция задана параметрическими уравнениями
.
Как известно, первая производная находится по формуле
.
Найдем вторую производную от функции, заданной параметрически.
Из определения второй производной и равенства (16.6.) следует, что
,
т.е.
. (16.8.)
Эту формулу можно преобразовать и получить следующую формулу
.
Итак,
. (16.9.)
Аналогично получаем
,
, и т.д.
Пример 16.13 Найти вторую производную функции
.
Решение. Находим производные и
:
;
.
Далее
.
Используя формулу (16.8.), получаем
. ,
Дифференциал функции
Пусть дана функция , определенная на множестве X, и в точке
имеет отличную от нуля производную, т.е.
. Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф., можно записать
, где
при
, или
.
Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух сла-гаемых
и
, являющиеся бесконечно малыми при
. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с
, так как
, а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высо-кого порядка, чем
, так как
.
Слагаемой называют главной частью приращения функции
.
Определение 16.2. Дифференциалом функции в точке x называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается
(или
):
. (16.10.)
Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции
. Так как
, то согласно формуле (16.10.), имеем
, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
. Поэтому формулу (16.10.) можно записать так:
, (16.11.)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (16.11.) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов
и
.
Пример 16.14. Найти дифференциал функции
а) в общем виде;
б) в точке ;
в) при и
.
Решение. Находим производную первого порядка:
.
а) Используя формулу (16.11.), получаем
.
б) Дифференциал функции в точке равен
.
в) При и
получаем:
.
,
Выясним геометрический смысл дифференциала функции.
Проведем к графику функции в точке
касательную
и рассмотрим ординату этой касательной для точки
. На рисунке
,
. Из прямоугольного треугольника
имеем:
, т.е.
.
Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому
.
Сравнивая полученный результат с формулой (16.10.), получаем .
Геометрический смысл: дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение
.
Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной.
Инвариантность формы записи дифференциала
Пусть для
, тогда
.
Рассмотрим сложную функцию , где
, причем
и
дифференцируемы соответственно в точках x и
. Тогда
, но
следовательно,
. А так как
, то
.
Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариант-ностью (неизменностью) формы записи дифференциала.
Заметим, что из инвариантности следует, что, хотя (x – незави-симая переменная), а
(
– функция), запись их одинакова. Однако сущность этих формул различна:
задается произвольно,
же задавать произвольно, вообще говоря, нельзя;
нужно вычислить по формуле дифференциала
. Это относится и к случаю с несколькими промежуточными функциями.