Основные теоремы дифференциального исчисления
Ниже мы увидим, что знание первой производной или производной более высокого порядка позволяет дать заключение о поведении функции. Но предварительно рассмотрим несколько основных теорем дифференциального исчисления.
Теорема 16.6. (Ферма) Пусть функция определена на интервале
и во внутренней точке
этого интервала принимает наибольшее или наимень-шее значение. Если существует конечная производная
, то
.
Доказательство. Пусть в точке
принимает наибольшее значение, т.е.
для
. По определению производной
.
Этот предел не зависит от того, приближается x к слева или справа.
Разность , следовательно, при
,
а при
.
Переходим к пределу:
,
.
Так как по условию существует, то односторонние производные равны и
.
,
В доказательстве теоремы существенно, что - внутренняя точка интервала
, так как мы рассматриваем точки справа и слева от
. Если
совпадает с концом промежутка, то производная может быть и не равна нулю. Например, функция
на отрезке
, а не на интервале
, наибольшее значение достигает при
. Однако
. Тогда
.
Теорема 16.7. (Ролля) Пусть задана функция и пусть она:
1) определена и непрерывна на ;
2) дифференцируема на интервале ;
3) имеет равные значения на концах отрезка, т.е. .
Тогда найдется хотя бы одна точка , что
.
Доказательство. Пусть непрерывна на
, следовательно, достигает наибольшего M и наименьшего m значений, т.е.
. Рассмотрим два случая.
1. . Тогда
,
,
, и любую точка из
можно принять за c.
2. . Так как
, то M и m не достигаются оба на концах отрезка, т.е. хотя бы одно достигается в точке
. А по теореме Ферма
.
,
Все условия теоремы Роля существенны. Если хотя бы одно из них не выполняется, то теорема тоже не будет выполняться. Например, для функции на отрезке
условия 1 и 3 выполняются. На отрезке
функция определена и непрерывна (первое условие),
(третье условие). Но в точке
функция не дифференцируема. Значит, теорема Ролля не выполняется.
Теорема 16.8. (Коши) Пусть заданы функции и
и пусть:
1) они обе определены и непрерывны на ;
2) существуют и
на
;
3) на
.
Тогда найдется такая точка , что выполняется равенство
.
Доказательство. Очевидно, что . Так как если бы
, функция
удовлетворяла бы теореме Ролля и нашлась бы точка c между a и b, такая, что
, а это противоречит условию
на
.
Введем вспомогательную функцию
.
Она удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно,
1) определена и непрерывна на
;
2) существует на
;
3) .
Следовательно, существует точка , такая, что
. Действитель-но,
или
,
т.е.
.
,
Теорема 16.9. (Лагранжа) Пусть заданы функции и пусть она:
1) определены и непрерывны на ;
2) имеет конечную производную на
.
Тогда найдется такая точка , что выполняется равенство
.
Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив , находим
.
Подставляя эти значения в формулу , получаем
или
.
,
Формулу еще называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке
равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.
Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа называются теоремами о средних значениях. Это значит, что для каждого отрезка существует по крайней мере внутренняя точка (не обязательно в середине отрезка!), для которой эти теоремы выполняются.
Правило Лопиталя
Во многих случаях отыскание предела функции в точке или на бесконечности приводит к неопределенностям вида ,
,
,
,
,
,
, для раскрытия которых можно использовать понятие производной. Введем правило Лопиталя.
Теорема 16.10. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенности )
Пусть функции и
непрерывны и дифференцируемые в окрестности точки
. Пусть
и
в указанной окрестности и
,
. Тогда, если существует
(конечный или бесконечный), то существует
и имеет место равенство
. (16.15.)
Доказательство. Доопределим функции и
в точке
, полагая
. Тогда они будут непрерывны в точке
. Применим к ним теорему Коши на отрезке
и получим
,
где точка c удовлетворяет условию или
. Если
, то
поэтому, согласно условию теоремы,
.
,
Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.
Замечания. 1) Теорема 16.10. справедлива и в том случае, когда . Действи-тельно, положив
, получим
.
2) Если производные и
удовлетворяют тем же условиям, что и функции
и
теорему 16.10. можно применить еще раз:
и т.д.
Пример 16.17. Найти .
Решение. .
,
Теорема 16.10. дает возможность раскрыть неопределенность вида . Сформу-лируем без доказательства теорему о раскрытии неопределенности вида
.
Теорема 16.11. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенности )
Пусть функции и
непрерывны и дифференцируемые в окрестности точки
(кроме, может быть, точки
), в этой окрестности
,
,
и
. Тогда, если существует
(конечный или бесконечный), то существует
и имеет место равенство
. (16.16.)
Пример 16.18. Найти .
Решение. Способ 1.
Способ 2.
.
,
Пример 16.19. Найти .
Решение.
.
,