Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Как уже известно, приращение 
функции 
в точке x можно представить в виде 
, где 
при 
, или 
. Отбрасывая бесконечно малую 
более высокого порядка, чем 
, получаем приближенное равенство
,
причем это равенство тем точнее, чем меньше .
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно прира-щение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому эта формула широко применяется в вычислительной практике.
Подставляя в равенство значения и 
, получаем
или
(16.12.)
Формула (16.12.) используется для вычислений приближенных значений функции.
Пример 16.15. Вычислить приближенно 
.
Решение. Рассмотрим функцию 
;
, где 
.
Находим первую производную функции и значение первой производной в точке 
.
;
.
Находим значение функции в точке :
.
Тогда
.
,
Дифференциалы высших порядков
Пусть дифференцируемая функция, а ее аргумент x – независимая переменная. Ее первый дифференциал 
есть также функция x. Можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, т.е.
.
Найдем выражение второго дифференциала функции . Так как 
не зависит от x, то при дифференцировании считаем 
постоянным:
.
Таким образом, получаем
. (16.13.)
Равенство (16.13.) есть формула, по которой находится дифференциал второго порядка функции , если x – независимая переменная.
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:
.
И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: 
.
Отсюда находим, что 
. В частности, при 
соответственно получаем:
, 
, 
.
т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если x – независимая переменная. Если же функцию , где x есть функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения ( 
), полу-чаем:
,
т.е.
. (16.14.)
Сравнивая формулы (15.13.) и (15.14.), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое 
.
Ясно, что если x – независимая переменная, то
и формула (16.14.) переходит в формулу (16.13.)
Пример 16.16. Найти 
, если 
, x – независимая переменная.
Решение. Находим последовательно 
и 
:
;
.
Тогда по формуле (16.13.) получаем
.
,