Наклонная и горизонтальная асимптоты
Прямая 
называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции 
при 
или 
, если
.
Укажем способ определения коэффициентов k и b наклонной асимптоты .
Теорема 16.19. Для того чтобы прямая являлась наклонной асимпто-той графика функции при или , необходимо и достаточно существование конечных пределов:
. (16.17.)
Доказательство. Для доказательства ограничимся случаем, когда .
Необходимость. Если – асимптота графика функции при , то из условия 
имеем:
и
.
Достаточность. Пусть существуют пределы (15.17.). Тогда из второго равенства по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф. получаем:
, откуда 
, т.е. прямая – наклонная асимптота графика функции при . ,
В частности, если 
, то 
. Поэтому прямая 
– уравнение горизонтальной асимптоты.
Пример 16.25. Найти асимптоты графика функции:
.
Решение. При 
функция не ограничена, следовательно, вертикальной асимптотой будет прямая .
Далее, согласно формулам (16.17.), находим:
;
.
т.е. наклонная асимптота задается уравнением 
. ,
Общая схема исследования и построения графика
Исследование функции 
целесообразно вести в определенной последова-тельности.
Примерный план исследования функции
1) Находим область определения функции.
2) Исследуем функцию на периодичность; четность или нечетность.
3) Находим (если это возможно) точки пересечения с осями координат.
4) Исследуем функцию на монотонность и точки экстремума.
5) Находим промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
6) Находим асимптоты графика функции.
7) Для уточнения хода графика функции (если в этом есть необходимость) находим дополнительные точки.
8) По полученным данным строим график функции.
Формула Тейлора
Одной из основных задач математического анализа является задача приближения или аппроксимации функции в окрестности данной точки, которая часто называется рабочей точкой. Наиболее простыми функциями являются многочлены. Возникает вопрос о возможности аппроксимации данной функции в окрестности рабочей точки 
много-членом некоторой степени. Для дифференцируемых функций эта проблема решается с помощью формулы Тейлора.
Как уже известно, приращение 
функции 
в точке x можно представить в виде 
, где 
при 
. Тогда, согласно этой формуле дифференцируемую функцию 
в окрестности точки можно представить в виде:
или
,
т.е. существует многочлен первой степени 
, такой, что при 
имеет место равенство 
, причем многочлен 
удовлетворяет условиям 
, 
.
Поставим более общую задачу. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке n производных 
. Попытаемся найти многочлен 
степени не выше n, такой, что
, (16.18.)
где удовлетворяет условиям
,
, (16.19.)
………….,
.
Будем искать многочлен в виде
. (16.20.)
Отсюда, дифференцируя, последовательно находим:
;
;
;
……………………………….
.
Используя теперь условие (16.19.), получаем:
Þ 
;
Þ 
;
Þ 
;
Þ 
;
…………………………………
Þ 
.
Таким образом, значения коэффициентов 
многочлена определены. Подставим их в равенство (16.20.) и получим многочлен
. (16.21.)
Формула (16.21.) называется многочленом Тейлора степени n функции .
Рассмотрим функцию 
. Функция 
представляет собой погрешность при замене функции многочленом в окрестности точки . Функция называется остаточным членом, который имеет несколько представле-ний:
при – остаточный член в форме Пеано;
, где 
– остаточный член в форме Лагранжа.
Таким образом, 
.
Сформулируем теорему (без доказательства), в которой введем формулу, позво-ляющую, в определенных условиях, приближенно представить функцию в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 16.20. Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производную до (n+1)-го порядка включительно, то для любого x из этой окрестности найдется точка 
такая, что справедлива формула
, (16.21.)
где 
.
Формула (16.21.) называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа.
Если 
, то формула (16.21.) называется формулой Маклорена и она имеет вид:
, (16.22.)
где 
.
Пример 16.26. Разложить по формуле Тейлора функцию 
в окрестности точки 
.
Решение. Последовательно находим: 
;
Þ 
;
Þ 
;
Þ 
;
при 
.
Таким образом,
.
Многочлен третьей степени представлен в виде многочлена Тейлора по степени 
. ,