Предел последовательности.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ

(образован в 1953 году)

Кафедра физики и высшей математики

М.С. Алборова

«Высшая математика»

Часть II.

Учебно-методические указания по проведению практических занятий для студентов

Дневной и заочной форм обучения.

Www.msta.ru

Москва – 2006

УДК 51

© Алборова М.С.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов технологических и механических специальностей, всех форм обучения. - МГУТУ, 2006 г.

Настоявшее пособие составлено с целью оказания помощи студентом в приобретении навыков по решению задач курса:математический анализ.

В начале каждого раздела помещены определения, теоремы, формулы и другие краткие сведения по теории; затем приводятся подробные решения типичных примеров; в конце каждого раздела содержатся примеры для самостоятельного решения. В конце пособия приведены контрольные задания являющиеся типовыми расчетами по данным разделам.

Автор: доц. к.ф.-м.н. Алборова М.С.

Рецензенты: доц. Гофман В.Г.

Редактор: Свешникова Н.И.

© Московский государственный университет технологий и управления, 2006 г.

109004, Москва, Земляной вал, 73

Математический анализ.

Занятие 1.

1.Функция. Область определения.

Понятие функции. Пусть Х и У – два множества вещественных чисел. Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу ставится в соответствие единственное число , то говорят, что на множестве Х задана функция, область значения которой расположена в У. Это можно записать так:

.

Множество Х- называют областью определения функции, а множество У, состоящее из всех чисел вида множеством значений функции.

Если у является функцией от х, то пишут . Область определения обозначается через , а множество значений – через .

Основные элементарные функции. Основными элементарными функциями называют следующие функции:

1) степенная функция ,

2) показательная функция , где а- любое положительное число, отличное от единицы: ,

3) логарифмическая функция , где а- любое положительное число, отличное от единицы: ,

4) тригонометрические функции:

5) обратные тригонометрические функции: , , .

Элементарными называются функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью четырёх арифметических действий и применённых конечное число раз.

Пример неэлементарной функции:

Графиком функции называется множество точек плоскости хОу с координатами , где .

Функция , область определения которой симметрична относительно нуля, называется чётной, если для и нечётной, если , .

Произведение двух нечетных функций является четной функцией.

Функция называется периодической, если существует положительное число Т такое, что при и выполняется равенство = .

Пример 1. Найти область определения функции .

Решение. Данная функция определена, если и . Решаем эту систему:

Ясно, что искомое неравенство имеет место при , значит полученное множество есть область определения данной функции.

Пример 2. Установить чётность или нечётность функции .

Решение. Для данной функции область определения симметрична относительно нуля: .

Заменяя х на –х, получим , т.е. . Итак, данная функция чётная.

Пример 3. Найти основной период функции .

Решение. Так как основной период функции есть , то основной период функции есть , т.е. .

Контрольные вопросы.

1.Элементарные функции и их графики.

2.Понятие функции. Область определения.

Задания.

1) Найти область определения функции:

а) б)

в) г) .

2) Какая из функций является чётной, какая нечётной:

а) б)

г) д)

3) Найти периоды функций:

а) , б) .

Занятие 2.

Предел последовательности.

1⁰ Функцию натурального аргумента называют последовательностью. Если Х=R, т.e. f(n)-вещественные числа, где , то такую последовательность назовём числовой и обозначим -ый член последовательности, а саму последовательность

2⁰.Число называется пределом последовательности , если для любого числа , найдется такое натуральное число , что при всех выполняется неравенство:

При этом пишут , или при и число а называют пределом последовательности . Говорят также , что последовательность сходится к .

Справедливы следующие утверждения:

Решение. В самом деле, зададим произвольное и решим неравенство или .Следовательно, для всякого такое, что неравенство - выполняется для всех n>n_0,, ч.т.д.

Пример 2. Если , то .

Доказательство. Пусть пока Неравенство верно, если т.е. если Таким образом, мы доказали, что при .

Пример 3. Пусть

Доказать, что

Доказательство. Имеем . Так как при (см. пример 2), то, применяя формулы (2) и (3), получим:

Пример 4. Показать, что при последовательность Имеет пределом .

Решение. Здесь . Определим при каком выполняется неравенство . Так как то .

Итак, если , то , т.е. .

Предел функции.

Пусть определена в окрестности точки _, за исключением, быть может точки

Определение по Коши. Число А называется пределом функции при ( в точке )_, если для каждого числа можно найти такое число , что будет меньше , когда , при .

При этом пишут или при .

Определение по Гейне. Число А называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , где, , , сходящейся к , (т.е. ), последовательность соответствующих значений функций , , сходится к числу А, (т.е. ).

Эти два определения равносильны.

Функцию называют бесконечно большой при , если для всякого числа М>0 существует зависящее от М число , такое, что при всех удовлетворяющих неравенству . Записывают коротко или при .

Функцию называют бесконечно малой при , если

Справедливые свойства:

1) ;

2) ;

3) , (при ).

Первый замечательный предел: .

Второй замечательный предел:

Пример 1. Найти следующие пределы:

а) ; б) .

Решение. а) , здесь числитель и знаменатель дроби при стремится к нулю (неопределённость вида ).

Имеем = .

Итак, =2.

б) = ;

числитель дроби стремится к 75, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь – бесконечно большая величина и .

Пример 2. Вычислить

Итак,

Пример 3. Найти пределы:

а) , б) .

Решение. а) =

б) .

Пример 4. Найти пределы:

а) б)

Решение. а)

б)

12
3
4
5
6
Далее ⇒