Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями , , расположенной выше оси Ох ( ), равна :

.

 

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох ( ), то ее площадь может быть найдена по формуле

.

Пусть на отрезке заданны и непрерывны функции такие, что . Площадь фигуры , ограниченной кривыми , , и прямыми вычисляется по формуле:

.

 

Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями

, вычисляется по формуле:

.

 

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и , вычисляется по формуле:

 

.

 

Пример 4. Найти площадь плоской фигуры ограниченной линиями

х=0, у=4.

 

Решение.Будем иметь (ед²).

Пример 5.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

,

 

у

Решение.

х

Вычисление объёмов тел вращения.

Объём тела, полученного вращением вокруг оси Оx, криволинейной трапеции , определяется формулой

.

Пример 6. Найти объем тела, образованного вращением

фигуры, ограниченной линиями , , , х=1 вокруг оси Оx,

Решение.

Ответ: .

Пример 7. Найти объём тела вращения плоской фигуры

а) вокруг оси Ox,

б) вокруг оси Oy.

Решение.

а) Найдем объем тела вращения вокруг оси OX.

Будем иметь и ,

.

Формулы длин дуг плоских кривых.

Длина кривой, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

Длина кривой заданной параметрическими уравнениями

, вычисляется по формуле:

Длина кривой заданной в полярных координатах уравнением

Задания.

1. Вычислить интегралы

1) ; 2) 3) ; 4) ;

5) : 6) .

2. Найти площади фигур ограниченных линиями:

1) , , ; 2) , у=1-х², х=0; 3) , х=е ,у=0.

3.Найти объём тела , образованного вращением фигуры ограниченной линиями:

=4-х²; у=0; х=0;

1) вокруг оси Ox; 2) вокруг оси Oy.

4. Найти длину дуги кривой:

а) отсеченной осью Ox;

б)

в) Кардиоиды

Занятие 10.

Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами определяются как интегралы вида:

, ,

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует, то интеграл называется расходящимся.

Если непрерывна для всех значений отрезка , кроме точки с, в которой имеет разрыв второго рода, то несобственным интегралом второго рода от неограниченнойфункции называется интеграл вида:

Признак сравнения. Если функции и непрерывны на промежутке и удовлетворяют на этом промежутке условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , и из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла , где - некоторое число.

Решение. 1) Если , то для любого

2) Если , то для любого

.

Итак, данный интеграл при сходится, при расходится и при расходится.

Пример 2.Исследовать сходимость .

Решение.Сравним подынтегральную функцию с функцией на . Очевидно, что

.

Но интеграл сходится, так как (см. пример 1.) Следовательно, согласно признаку сравнения , сходится и данный ряд.

Пример 3.Исследовать сходимость , где - некоторое число.

Решение. 1) Если , для некоторого ,то

2) Если , то

,

3) Если , для некоторого , то

.

Контрольные вопросы.

1. Несобственные интегралы.

2. Признак сравнения.

Задания.

1. Вычислить интегралы

1) ; 2) ; 3) ; 4)

2.Исследовать сходимость интегралов

1) , 2) 3)

4) , 5) , 6) .

Математический анализ

Типовой расчёт по теме «Предел и производная»

Задача 1. Вычислить

№			№

Задача 2. Вычислить , используя второй замечательный предел.

№			№

Задача 3. Вычислить с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.

№		№

Задача 4. Найти точки разрыва функции .

Определить характер разрывов.

Задача 5. Найти производную функцию

№		№

Задача 6. Найти производную функции, заданной

параметрически: .

№			№

Задача 7. Найти производную неявной функции, заданной уравнением

№		№

Задача 8. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение числа .

№

Задача 9. Определить, в каких точках заданной линии L касательная к этой линии параллельна прямой , и написать уравнение этой касательной.

№	Уравнение линии		№	Уравнение линии
					-2
		-1
		-1
		-1

Для заметок

Для заметок

Для заметок

Для заметок

Для заметок

Алборова Мира Сослановна

Высшая математика часть 2

Методические указания по практическим занятиям

Подписано к печати:

Тираж:

Заказ №

• ⇐ Назад
1
2
3
4
56