Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.
Функция называется 
бесконечно малой при 
(или в точке 
), если 
.
Пусть и 
- две бесконечно малые функции при .
1) Если 
, то называются бесконечно малой более высокого порядка чем 
(при );
2) Если 
, то и называются бесконечно малыми одного порядка (при );
3) Если 
, то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ). Эквивалентность обозначается так: ~ при .
Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при 
:
~ , 
~ , 
~ , 
~ , 
~ 
,
~ , 
~ 
, 
~ 
, 
~ , 
~ 
,
Пример 5. Найти пределы:
а) 
, б) 
.
Решение. а) = 
б) = 
.
Пример 6. Найти предел:
.
Контрольные вопросы:
1. Понятие последовательности.
2. Понятие предела последовательности
4. Определение предела функции.
5. Свойства пределов.
6. Два замечательных предела.
7. Понятие эквивалентных бесконечно малых функций.
8.Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.
Задания.
1. Вычислить пределы:
а) 
б) 
в) 
г) 
2.Найти пределы последовательностей:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
3. Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными вычислить следующие пределы:
а) 
б) 
в) 
Занятие 3.
Непрерывность функции
Функция 
называется непрерывной в точке , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ;
2) существует 
;
3) этот предел равен значению функции в точке 
, т.е. 
,
Обозначая 
(приращение аргумента) и 
, (приращение функции), условие непрерывности можно записать так: 
, т.е. функция непрерывна в точке тогда и только тогда, тогда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.
Функция 
называется непрерывной в точке 
справа, если выполняется условие 
(когда 
стремится к 
справа, оставаясь больше ).
Если 
, то говорят, что функция непрерывна слева (когда стремится к слева, оставаясь меньше ).
.
Если непрерывна в точке слева и справа, то она непрерывна в этой точке.
Функция имеет разрыв в точке , если она определена в сколь угодно близких точках к , но в самой точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.
Конечным разрывом или разрывом первого рода называется разрыв функции в точке , если существуют конечные односторонние пределы
и 
.
Скачком функции в точке называется разность его односторонних пределов 
, если они различны.
Если = , то точка называется точкой устранимого разрыва.
Все другие случаи разрыва функции называются разрывами 2-го рода.
Если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то разрыв функции называется бесконечным.
Пример 1.
Исследовать функцию на непрерывность; непрерывность справа и слева и установить характер точек разрыва, где
Решение. При 
можно сократить на 
.
Следовательно, 
при . Легко
видеть, что 
. Значит, при 
функция будет разрывной, так как предел функции не равен значению функции в этой точке.
Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию
Решение.Найдем односторонние пределы в точке 
, т.е.
.
В точке функция имеет разрыв 2 рода. Так как предел слева в точке равен значению функции в этой точке, то функция непрерывна слева в точке . При остальных значениях 
функция непрерывна (по теореме непрерывности суперпозиции функций).
Пример 3.Доказать непрерывность функции 
.
Решение.Пусть 
- произвольное значение на числовой прямой.
Найдем 
и составим разность
Оценим полученное выражение в правой части по абсолютной величине
,
.
Итак, отмечаем, что
.
Контрольные вопросы
1. Определение непрерывной функции в точке.
2. Разрыв функции в точке. Классификация разрывов.
3. Свойства непрерывных функций.
Задания.
1) Показать, что при 
функция 
имеет разрыв.
2) Найти точки разрыва функции 
.
3) Каков характер разрыва функции 
в точке .
4) Исследовать на непрерывность функции
а) 
; б) 
Занятие 4
Производная функции
Пусть функция 
определена на интервале 
.Определим:
- приращение аргумента в точке 
, а
- приращение функции в точке .
Если существует конечный предел
,
то он называется производной функции 
в точке 
.
Значение производной 
-есть угловой коэффициент касательной к графику функции в точке, абсцисса которой есть
Если 
- закон прямолинейного движения точки, то первая производная пути по времени 
-есть скорость этого движения.