Основные правила дифференцирования.
Пусть 
- некоторая постоянная, 
, 
- функции, имеющие производные.
Справедливы следующие правила дифференцирования:
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
;
5. ; .
6.Производная сложной функции.
Если функции 
и 
имеют конечные производные, то
7.Дифференцирование функции, заданной параметрически..
Пусть зависимость между 
и функцией 
задана параметрически в виде двух уравнений
где 
-вспомогательная переменная, называемая параметром.
Производная 
функции, заданной параметрически определяется по правилу
Или .
8. Производная обратной функции.
Пусть функция 
в некоторой окрестности точки 
возрастает (или убывает) и является непрерывной. Пусть кроме того, функция дифференцируема, в точке и производная 
отлична от нуля. Тогда обратная функция 
определена в некоторой окрестности соответствующей точки 
, дифференцируема в этой точке и имеет в этой точке производную, равную 
.
9. Производная функции 
, 
, где 
и 
суть функции от , имеющие в данной точке производные 
и 
есть:
Пример 1.Исходя из определения производной, найти производную функции 
.
Решение.Зададим приращение 
, такое, что 
.
Тогда
;
Поэтому
;
Переходим к пределу при 
:
;
т.е. 
.
Пример 2.Исходя из определения производной функции, найти производную функции 
.
Решение.Находим
Откуда
и, следовательно
.
Итак, 
.
. Формулы дифференцирования основных элементарных функций:
1. 
; 11. 
;
2. 
; 12. 
;
3. 
; 13. 
;
4. 
; 14. 
;
5. 
; 15. 
;
6. 
; 16. 
;
7. 
; 17. 
;
8. 
; 18. 
;
9. ; 19. .
10. 
;
Пример 3.Найти производную функции 
.
Решение.
.
Пример 4.Найти производную 
.
Решение.Берем производную от 
как сложной функции
, где 
, 
.
, где 
,
; 
Итак,
.
Пример 5. Найти производную функции 
Решение.Имеем 
, откуда
,
.
Пример 6.Найти 
, если 
, 
.
Решение. Имеем
Пример 7.Найти производную 
.
Решение.Показательная функция 
, определена на бесконечной прямой и служит обратной для логарифмической функции 
.
Согласно вышеуказанному утверждению, функция дифференцируема в любой точке и для ее производной справедлива формула 
.
Итак, 
.
Пример 8.Вычислить производную 
.
Решение.Функция 
, определенная на интервале 
, служит обратной для функции 
, определенной на интервале 
. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, получим:
.
Мы взяли перед корнем знак +, т.к. 
положителен всюду на интервале .
Итак 
.
Понятие дифференциала.
Пусть функция 
имеет в точке 
конечную производную 
, тогда ее приращение можно записать в виде
,
где 
.
Главная, линейная относительно 
часть 
приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается 
:
.
При 
, получим 
, поэтому дифференциал функции примет вид
.
Основные свойства дифференциала
1) 
где 
= const,
2) 
3) 
,
4) 
,
5) 
6) .