Пример 1. Подынтигральная функция представляет собой рациональную дробь
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Решение:
1)
Подынтигральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее знаменатель на множители: 
. В разложении правильной дроби на простейшие каждому множителю знаменателя вида 
соответствует слагаемое 
Поэтому в данном случае имеем
Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество
,
Коэффициенты А, В, Сопределим с помощью метода частных значений
откуда А=-1, В=-2, С=2. Подставив найденные коэффициенты в разложении подынтегральной функции на простейшие дроби, получим
2)
Ответим, что для нахождения коэффициентов мы использовали комбинированный метод: метод частных значений и метод неопределенных коэффициентов.
4)
Подынтегральной функцией является правильная дробь, разложение которой в сумму простейших имеет вид:
Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х, что приведет к линейной системе относительно A,B,C,D,E:
x4: A + B = 0
x³: -2B + C = 0
x²: 2A + B – 2C + D = 2
x: -2B + C – 2D + E = 2
x0: A – 2C – 2E = 13.
Отсюда A = 1, B = -1, C = -2, D = -3, E = -4. Следовательно,
, где
Таким образом, окончательный результат имеет вид:
5) 
Так как подынтегральная функция является неправильной дробью, то путем деления числителя на знаменатель можно представить ее в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби:
