Обчислення відстані від точки до прямої і кута між двома прямими на координатній площині
Розглянемо на координатній площині пряму, задану загальним рівнянням
і точку поза цією прямою.
Рівняння у відповідній тривимірній системі координат визначає площину, паралельну до осі
з нормальним вектором
. (Рис. 38.1).
Рис. 38.1
Проведемо - перпедикуляр до прямої. Тоді
- це відстань як до прямої у системі
, так і до площини у системі
. Тоді за формулою після покладення
, знаходимо
Обчислення кута між прямими на координатній площині здійснюється в залежності від того, якими рівняннями вони задані. При задаванні прямих загальним рівнянням кут між прямими визначається як кут
між їх нормальними векторами
і
і обчислюється за формулою аналогічно до :
У випадку завдання прямих канонічними рівняннями
кут між прямими визначається як кут між їх напрямними векторами
і
і обчислюється згідно формули :
Розглянемо випадок, коли прямі задано рівняннями з кутовим коефіціентами:
Нехай і
кути, утворені цими прямими з додатним напрямком осі
(Рис. 38.2):
Рис. 38.2
Тоді за властивостю зовнішнього кута трикутника , або
.
Тоді , або оскільки
,
Оскільки паралельні прямі нахилені до осі під однаковим кутом, то умовою паралельності прямих є рівність
Якщо прямі перпендикулярні, то і тангенс кута
є нескінченно великою величиною. Тому умова перпендикулярності цих прямих має вигляд: