Загальне і параметричне рівняння лінії на координатній площині. Рівняння кола. Загальне рівняння прямої на площині
Будь яка ліня , що знаходиться у площині
,може бути утворена як перетин деякої поверхні, заданої рівнянням
, і площини
(Рис. 36.1)
Рис. 36.1
Тоді кожна точка лінії задовольняє систему рівнянь
Можна у перше рівняння підставити і перепозначити
. Тоді набуває вигляду
Це загальне рівняння лінії, що належить площині , записане у тривимірній системі координат
. Якщо розглядати двовимірну систему координат
, то загальне рівняння лінії виглядає наступним чином:
Параметричне рівняння лінії, що належить площині , згідно подається так:
,
або
,
Отримаємо рівняння кола радіус , центр якого співпадає з точкою площини
.
Для цього у тривимірній системі координат візьмемо сферу у цій самій точці. Вона визначається наступним рівнянням
Коло утворюється як перетин цієї сфери з площиною (Рис. 36.2).
Рис. 36.2
Воно визначається системою рівнянь
яка еквівалентна одному наступному рівнянню вигляду
Рівняння і є рівнянням кола на координатній площині з центром у точці
і радіуса
.
Пряма на координатній площині може бути утворена перетином цієї площини з довільною площиною (Рис. 36.3), яка задана загальним рівнянням
.
Рис. 36.3
Причому у рівнянні хоча б один з коефіцієнтів чи
має бути відмінним від
. Інакше площини
і будуть паралельними і не перетинатися. Тоді пряма, що утворюється внаслідок перетину, визначається системою рівнянь
,
або одним рівнянням: .
Для зручності в останньому рівнянні перепозначимо коефіцієнти і запишемо його у вигляді:
Має місце теорема:
Теорема. Будь-яке рівняння визначає на координатній площині пряму, перпендикулярну до вектора .
Дійсно, оскільки , то рівняння має хоча б один розв’язок. Нехай
- будь-який розв’язок цього рівняння. Тоді є вірною рівність
.
Складемо різницю рівнянь і
Розглянемо точки і вектор
. Рівняння можна записати у вигляді
. Це означає, що усі вектори
мають початок у точці
і перпендикулярні до вектора
, тобто знаходяться на одній прямій, що перпендикулярна до цього вектора. Саме цю пряму визначає рівняння .
Рівняння називається загальним рівнянням прямої на координатній площині. Якщо розглянути довільні і
, то це рівняння визначає усі прямі, що проходять через точку
і називається рівнянням пучка прямих, що проходять через задану точку.