Раздел 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
1.В первой урне 2 белых и 1 чёрный шар, во второй урне – 1 белый и 4 чёрных шара. Некто наугад выбирает урну и из неё достаёт 1 шар. Найти вероятность того, что вынутый шар – белый.
2.В первой урне 2 белых и 1 чёрный шар, во второй урне – 1 белый и 4 чёрных шара. Из второй урны в первую наугад перекладывают 1 шар. После этого из каждой урны наугад вынимают по одному шару. Найти вероятности событий:
- вынутый из первой урны шар – белый;
- вынутый из второй урны шар – чёрный;
- оба вынутых шара – белые.
3. Чему равна сумма вероятностей всех гипотез для некоторого опыта?
4.При помещении в урну n шаров, из которых m белых и n – m один шар неизвестного цвета затерялся. Из попавших в урну n – 1 шаров вынимают один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется белым.
5.На рисунке изображена схема дорог. Турист вышел из пункта 0 , выбирая наугад на разветвлении дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что он попадёт в пункт А?
Рисунок
6.В первой урне 3 белых и 2 чёрных шара, во второй урне – 4 белых и 4 чёрных шара. Из первой урны во вторую перекладывают два случайных шара. Затем из второй урны наугад достают один шар. Найти вероятность того, что он будет белым.
7.Для экзамена приготовлены n билетов, в каждом из которых 2 вопроса. Студент знает k вопросов из 2n. Для сдачи экзамена надо или ответить на оба вопроса билета, или на один вопрос билета и на один (по выбору экзаменатора) вопрос случайно взятого дополнительного билета. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен. Провести расчёт этой вероятности при 2n = 20 в случаях k = 10 и k = 5.
8.Студент правильно выполняет задание определённой сложности в нормальном состоянии с вероятностью 0,8, а в стрессовом состоянии – с вероятностью 0,6. Найти вероятность, с которой студент правильно выполнит такое задание, если он находится в стрессовом состоянии в 9 раз реже, чем в нормальном состоянии.
9.Некто покупает пакет программ у надёжного распространителя. Вероятность того, что ему продадут нелицензированный пакет – 0,6. Найти вероятность безотказной работы купленного пакета, если надёжность лицензированного пакета – 0,99, а нелицензированного - 0,7.
10.(Парадокс Р. Мезиса). В Лондоне и в Москве будут одновременно проводиться теннисные турниры. Теннисист может поехать на турнир или в Лондон, или в Москву. Вероятность того, что он выиграет турнир в Лондоне – 0,6, а в Москве – 0,9. Найти вероятность того, что теннисист выиграет один из этих турниров. Как с помощью формулы полной вероятности можно уточнить условие задачи и сделать её корректной?
11.Согласно некоторым исследованиям 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.)
12.Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень у первого стрелка 0,8, у второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
13.В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или чёрный. В урну опускают один белый шар, и после перемешивания наугад из урны извлекается один шар. Он оказался белым. Найти вероятность событий: а) в урне остался белый шар; б) в урне был белый шар; в) в урне остался чёрный шар.
14.Хозяйка испекла 10 пирожков и считает, что с равной вероятностью либо все пирожки получились вкусными, либо среди них один невкусный, либо среди них два невкусных. Гости съели два пирожка, которые оказались вкусными. Какая вероятность того, что все пирожки вкусные?
15.Программа экзамена состоит из 50 вопросов. В группе из 24 студентов 8 студентов подготовились хорошо (знают по 40 вопросов), 8 студентов подготовились слабо (знают по 20 вопросов) и 8 студентов плохо (знают по 10 вопросов). Случайно вызванный студент правильно ответил на оба заданных ему вопроса из программы. Найти вероятность того, что он подготовлен: а)хорошо, б) слабо, в) плохо.
16.(продолжение задачи 15) В условиях задачи 15 найти вероятности событий:
а) хорошо подготовленный студент правильно ответит на два заданных ему вопроса из программы; б) слабо подготовленный студент правильно ответит на два заданных ему вопроса из программы; в) плохо подготовленный студент правильно ответит на два заданных ему вопроса из программы.