Примеры. Задача 1. В партии товара 80% изделий стандартны
Задача 1. В партии товара 80% изделий стандартны. Случайным образом отобрано пять изделий. Найти вероятность того, что три из них стандартны; стандартных не менее трех; стандартно хотя бы одно.
Каково наивероятнейшее число стандартных изделий и соответствующая ему вероятность?
Решение: Обозначим: событие А — взятое изделие стандартно. По условию 
; 
;
а) 
Так как число повторных испытаний 
, применим формулу Бернулли.
Таким образом,
.
б) 
, то есть 
.
;
– найдено выше.
.
.
.
.
Найдем наивероятнейшее число 
;
.
Единственное целое число из этого промежутка равно 4.
Итак, ему 
соответствует вероятность: 
- она была найдена выше.
Ответ: 
.
Задача 2. Вероятность того, что изделие прослужит гарантийный срок, равна 0,9. Организация закупила 60 изделий. Найти вероятность того, что прослужит гарантийный срок: а) половина всех изделий; б) не менее 52 и не более 58 изделий; в) хотя бы одно изделие.
Каково наивероятнейшее число изделий, которые прослужат гарантийный срок? Чему равна его вероятность?
Решение: Дано 
.
Так как 
, то применим формулы Лапласа.
а) 
. По локальной формуле Лапласа находим:
, где 
.
По таблице приближения 1: 
. Здесь учтено, что функции 
- четная. Тогда 
.
б) 
. По интегральной формуле Лапласа
, где 
, 
.
Значения 
и 
округляем до двух знаков после запятой.
По таблице приложения 2 находим значения функции 
, учитывая, что она нечетная:
;
.
Таким образом.
.
в) 
.
По локальной формуле Лапласа найдем:
,
так как по таблице приложения 1: 
.
Если вероятность события равна нулю, оно называется НЕВОЗМОЖНЫМ. Отсюда следует, что 
, то есть это событие обязательно произойдет, оно называется ДОСТОВЕРНЫМ.
Наивероятнейшее число 
:
;
,
то есть 
. Соответствующую ему вероятность находим по локальной формуле Лапласа: 
,
где 
- значение найдено по таблице приложения 1.
Ответ: 
.
Задача 3. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 0,3. Какова вероятность, что выиграет, по крайней мере один из четырех купленных билетов?
Решение: 
.
.
Ответ: 
.