Устойчивость по первому приближению
Будем рассматривать автономную систему
и ее «систему первого приближения»
Заметим, что систему первого приближения можно строить, линеаризуя в окрестности нуля элементы матрицы, заменяя бесконечно малые элементы матрицы эквивалентными.
Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Пусть 1) непрерывны и непрерывно дифференцируемы по ,
2) .
Если все собственные числа матрицы A системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение устойчиво.
Если хотя бы одно собственное число имеет положительную действительную часть , то тривиальное решение неустойчиво.
Пример.
Система первого приближения
Тривиальное решение неустойчиво.
Пример.
Система первого приближения
Тривиальное решение устойчиво.
Поскольку для автономных систем анализ устойчивости тривиального решения сводится к исследованию характера точки покоя, то зная поведение решений в окрестности различных точек покоя, мы выясним тем самым поведение траекторий систем.
Классификация точек покоя для автономных систем второго и третьего порядков.
Система второго порядка.
Запишем уравнение автономной системы второго порядка
Точка покоя .
1.Корни характеристического уравнения действительны..
а) .
При . Поэтому точка покоя (или тривиальное решение) асимптотически устойчива.
Заметим, что первое слагаемое – это проекция траектории на ось , второе слагаемое – проекция на ось .
Такая точка покоя называется
устойчивый узел.
б) .
Этот случай можно рассматривать как предыдущий, если формально положить t < 0. Получим те же траектории, что и в п. а), но стрелки на них будут направлены в другую сторону. Направление движение другое (t<0). Такая точка называется неустойчивый узел.
в) .
По вектору мы, находясь на траектории, стремимся к нулю, по вектору , наоборот, удаляемся от нуля.
Такая точка покоя - седло.
г) .
Это – тоже седло, но стрелки
направлены в другую сторону.
Траектория прижимается к той оси, для которой модуль характеристического числа меньше.
Седла – неустойчивые точки покоя.
Заметим, в ситуациях узлов и седла траектория, начавшись в определенном квадранте, в нем и остается.
д) .
Точка покоя – дикритический узел,
Устойчивый при , неустойчивый при
е)
Точка покоя - вырожденный узел,при устойчивая, но не асимптотически устойчивая. Если , то точка покоя - неустойчивая (стрелки направлены в обратную сторону)
ж) . Точка безразличного равновесия. При изменении времени любая точка остается на месте. Этими точками заполнена вся плоскость.
2. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.
Параметр t имеет смысл угла поворота вокруг начала координат (в периодической составляющей).
а) Если , то траектория приближается к началу координат с ростом t (спираль), так как - убывающая функция. Точка покоя устойчивый фокусасимптотически устойчива
б) если , то траектория удаляется от начала координат с ростом t (спираль), так как - возрастающая функция. Точка покоя неустойчивый фокус неустойчива
в) если , то траектории представляют собой эллипсы, охватывающие начало координат. Точка покоя центрустойчива, но не асимптотически устойчива.
а) б) в)
Пример. , ,
Классифицировать точки покоя в зависимости от параметра.
,
а) седло,
б) неустойчивый узел
в) вырожденный узел
- комплексно сопряженные.
Так как , то точка покоя – неустойчивый фокус
3) , точка покоя – неустойчивый дикритический узел.
Система третьего порядка.
Запишем уравнение автономной системы третьего порядка
.
Все корни характеристического уравнения действительны и различны.
.
Картину поведения фазовых траекторий довольно легко представить, рассматривая поведение фазовых траекторий в плоскостях, натянутых на пары собственных векторов. Этот случай уже изучен выше.
а)
В плоскостях , , , имеем устойчивые узлы. Такая точка покоя так и называется – устойчивый узел.
б) В плоскостях , , , имеем неустойчивые узлы. Такая точка покоя называется – неустойчивый узел.
а) б)
в) один корень имеет знак, противоположный остальным двум корням. Точка покоя в этом случае называется седло – узели является неустойчивой точкой покоя.
Пусть, например, . Тогда в плоскости имеем неустойчивый узел, а в плоскостях , - седла. Если , то в плоскости имеем устойчивый узел, а в плоскостях , - седла.
.
Заметим, что в ситуациях узлов и седла – узел траектория, начавшись в определенном октанте, не переходит в другой октант.
2) - действительный корень характеристического уравнения, - комплексно сопряженная пара корней.
Заметим, что при изменении номера корней ситуация будет аналогичной.
В плоскости имеем фокус, устойчивый при , неустойчивый при .
а) . Такая точка покоя называется устойчивый фокус.
б) . Такая точка покоя называется неустойчивый фокус.
в) или . Такая особая точка называется седло – фокус и является неустойчивой.
В первом случае по оси точка по траектории приближается к плоскости и уходит от начала координат, так как на самой плоскости имеем неустойчивый фокус.
Во втором случае на плоскости имеем устойчивый фокус, поэтому траектория стремится к оси , но удаляется от начала координат по этой оси, так как .