Лекция 26. Обзор численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Будем рассматривать схемы численных методов для уравнения первого порядка
.
Это – самый простой случай, но к нему по аналогии сводятся схемы методов для системы дифференциальных уравнений и для дифференциального уравнения n- го порядка.
Методы, основанные на разложении функции в ряд Тейлора.
Запишем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки 
Рассмотрим равномерную сетку по 
Пусть 
, тогда разложение функции в ряд Тейлора можно записать в виде
, где
Подставим в 
из дифференциального уравнения
Тогда 
.
Это – основная расчетная формула.
Учитывая в 
слагаемые с производными высших порядков, получим более точные приближенные формулы.
Если взять 
, то получим метод Эйлера
Методы Рунге – Кутта.
Основная идея методов Рунге – Кутта – вместо вычисления производных высших порядков в вычислять значения функции в некоторых точках, отличных от 
.
Выберем
= 
Разложим по h
= 
+ 
=
Сравним с приведенной выше основной расчетной формулой
.
и определим коэффициенты 
.
Пусть 
, тогда 
.
Если 
. Тогда
.
= 
.
Это – метод Хойна.
Если в формуле . выбрать 
,
то получим явный m – шаговый (m – точечный) метод Рунге – Кутта.
Наиболее распространенявный четырехточечный метод Рунге – Кутта
В явных методах Рунге – Кутта значения 
вычисляются только по предыдущим значениям 
.
В неявных методах Рунге – Кутта значения вычисляются как по предыдущим , так и по последующим значениям 
. Поэтому в этих методах приходится еще решать систему уравнений относительно .
Неявный m – шаговый метод Рунге – Куттаможно записать в виде
.
,
Методы Адамса.
Идея методов Адамса – использовать не промежуточные вычисления значений правой части дифференциального уравнения внутри отрезка 
, а значения правой части на предыдущих шагах (сделать метод методом «с памятью»).
В формуле 
заменим 
интерполяционным полиномом Ньютона 
.
Явные методы Адамса (Адамса – Башфорта).
Возьмем 
, но интеграл будем брать по предыдущему отрезку 
. Тогда
Здесь 
- конечная разность 
- го порядка:
Подставляя эти разности, получим
(k – шаговый явный метод Адамса – Башфорта)
Пример. 
Получен явный метод Адамса – Башфорта второго порядка (двухшаговый)
.
Более точен метод Адамса – Башфорта четвертого порядка:
Заметим, если 
задано (в задаче Коши начальное условие задается), то для того, чтобы начал работать метод Адамса 4 порядка, нужно вычислить еще значения (каким-либо другим методом) 
. Тогда из системы формул Адамса Башфорта, выписанных для 
, вычисляются значения правых частей 
, необходимые для того, чтобы метод начал работать. Затем уже по этим значениям по формуле метода определяются 
.
Эта процедура называется «разгоном метода» и является обязательной в методах Адамса.