Функция Ляпунова, «вторая метода Ляпунова»
Рассмотрим автономную систему и
функцию .
Назовем эту функцию знакоположительной, если
,
знакоотрицательной, если
Назовем функцию положительно определенной, если
она знакоположительна,
Назовем функцию отрицательно определенной, если
она знакоотрицательна,
Назовем функцию знакоопределенной, если она является отрицательно определенной или положительно определенной.
Введем производную функции в силу системы
:
. Заметим, что
. Поэтому, если
, то угол между градиентом V и вектором правых частей системы тупой. Следовательно, убывание функции V соответствует движению по фазовым траекториям внутрь линии уровня
=С.
На этом основан метод функций Ляпунова. Этот метод сводится к трем теоремам Ляпунова.
Теорема Ляпунова об устойчивости.Пусть существует функция (функция Ляпунова), положительно определенная и имеющая знакоотрицательную
в некоторой окрестности точки
.
Тогда тривиальное решение автономной системы устойчиво по Ляпунову.
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.Пусть существует функция , положительно определенная и имеющая отрицательно определенную
в некоторой окрестности точки
.
Тогда тривиальное решение автономной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Теорема Ляпунова о неустойчивости.Пусть . Пусть
знакоопределена в некоторой окрестности точки
. Если в любой окрестности точки
найдутся такие точки, в которых знаки
и
совпадают, то тривиальное решение автономной системы неустойчиво.
Пример.
Выберем
положительно определена,
отрицательно определена. Поэтому тривиальное решение асимптотически устойчиво.
Пример.
Выберем
и
положительно определены, поэтому тривиальное решение неустойчиво.
Лекция 25. Приближенное вычисление интеграла.
Часто нужно вычислить интеграл , а аналитически это сделать невозможно (интеграл не берется) или слишком громоздко. Тогда применяют приближенные методы вычисления интеграла на отрезке, по которым пишут алгоритмы и программы реализации этих методов на ЭВМ. Численный расчет дает значение интеграла с некоторой погрешностью, которая зависит как от погрешности метода, так и от погрешности вычислений. Чаще всего рассматривают равномерную сетку, разбивая отрезок
на отрезки длины шагом h:
.
Формулы прямоугольников.
Обозначим . Заменим интеграл интегральной суммой, вычисляя площадь под графиком функции как сумму площадей прямоугольников с основанием h, высотами
.
Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника
. Получим первую формулу прямоугольников
.
Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника
. Получим вторую формулу прямоугольников
.
Оценим погрешность формул прямоугольников. Разложим в ряд Тейлора и оценим остаточный член.
Для первой формулы прямоугольников
где
.
Для второй формулы прямоугольников
где
.
Таким образом, обе формулы прямоугольников дают погрешность порядка h и являются формулами первого порядка точности.
Можно повысить точность формулы прямоугольников за счет вычисления функции в серединах отрезков разбиения. Получаем третью формулу прямоугольников
.
Оценим погрешность этой формулы.
+
+0+
Таким образом, погрешность третьей формулы прямоугольников не превышает , где
. Эта формула прямоугольников имеет второй порядок точности.
Формула трапеций.
Сложим первую и вторую формулы прямоугольников и разделим пополам. Получим формулу трапеций
Поясним название формулы. Приблизим площадь под графиком функции на отрезке площадью трапеции
. Суммируя площади по всему отрезку интегрирования, получим
Аппроксимируем функцию кусочно – линейной функцией, значения которой совпадают с значениями функции в точках разбиения. Площадь под графиком кусочно – линейной функции на отрезке составит
. Суммируя площади по всему отрезку интегрирования, получим вновь формулу трапеций.
Можно показать, что формула трапеций – формула второго порядка точности. Погрешность вычисления интеграла с помощью этой формулы (это можно показать) не превышает , т.е. в два раза больше, чем по третьей формуле прямоугольников.
Формула Симпсона.
Аппроксимируем функцию на отрезке разбиения квадратичной функцией
так, чтобы
Лемма. .
Докажем лемму для . Сделаем замену
.
Тогда формула сведется к следующей:
.
Левая часть
Правая часть . Лемма доказана.
Разобьем теперь отрезок интегрирования на 2n частей, (
). Применим лемму к отрезкам
,
,..., получим формулу Симпсона
.
Можно показать, что формула Симпсона – формула четвертого порядка точности, ее погрешность не превосходит , где
. Это означает, что при интегрировании многочлена третьей степени формула Симпсона точна, ее погрешность равна нулю.
Пример. Вычислить приближенно I = с шагом
.
1 формула прямоугольников ,
2 формула прямоугольников ,
3 формула прямоугольников ,
Формула трапеций .
Формула Симпсона