Основні правила диференціювання

1. де .

2. .

3. (uv)’ =u'v + uv'.

Останнє правило поширюється на добуток п співмножників: похідна добутку п функції дорівнює добутку похідної першого співмножника на всі інші плюс добуток похідної другого співмножника на всі інші плюс і т.д., плюс добуток похідної п -го співмножника на всі інші:

4. ; .

Похідна складної функції , де , тобто , дорівнює добутку похідної даної функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу по :

(2.13)

Аналогічне правило має місце й у випадку, коли складна функція задана ланцюжком, що містить три і більш ланки. Наприклад, якщо , то:

(2.14)

Приклад 2.35.Знайти похідну функції .

Розв’язання. Спочатку знаходимо похідну від логарифму, враховуючи, що проміжним аргументом є . Отримуємо . Подумки закреслюємо вираз та бачимо вираз . Диференціюємо синус (проміжним аргументом в даному випадку є ). Отримуємо . Подумки закреслюємо вираз , та бачимо вираз . Диференціюємо корінь: . Залишається х, похідна від якого дорівнюється одиниці. Тепер запишемо у вигляді добутку всіх проміжних результатів:

Для правильного вибору першої (основної) функції рекомендуємо таке правило: нею буде та функція, яка виконується останньою (виключення складає показникова функція).

Приклад 2.36.Знайти похідну функції .

Розв’язання.За формулою (2.14) та використовуючи таблицю основних формул диференціювання маємо:

Рекомендуємо для зменшення громіздких записів наступний прийом, що дає можливість проводити роздроблення складної функції на ланки усно і записати вираз для похідної відразу.

Приклад 2.37.Знайти похідну функції: .

Розв’язання.подумки виконуємо диференціювання спочатку, потім , та .

результат: .

Зауваження 1. Варто пам'ятати, що на кожній стадії диференціюється тільки один вид функції. Так, диференціюючи функцію , ми спочатку диференціюємо тільки корінь кубічний, а потім лише .

Типова помилка полягає в тому, що відразу диференціюють кілька функцій (невірний результат).

Зауваження 2. Зустрічаються функції, які доцільно спочатку спростити, а потім диференціювати. Так, якщо , то після того, як ми функцію логарифмуємо та запишемо у вигляді , диференціювання істотно спроститься.

Приклад 2.38.Знайти рівняння дотичної і нормалі до параболи

у точці, де х = 2.

Розв’язання. Відповідно до геометричного змісту похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в цій точці. Рівняння дотичної до кривої у точці М(х₀,у₀):

(2.15)

Перпендикуляр АВ до дотичної в точці М називається нормаллю до кривої в цій точці. З огляду на умову перпендикулярності прямих ( ), рівняння нормалі запишеться у виді:

(2.16).

Абсцисі х = 2 відповідають ординати , так що треба знайти рівняння дотичної і нормалі в точці М(2, 0). Знаходимо у' . У точці М(2, 0) у'=1.

За формулою (2.15) рівняння дотичної має наступний вид у точці М: .

Рівняння нормалі у точці А знайдемо за формулою (2.16): .

Контрольний тест. Знайти похідні функцій: