Основні правила диференціювання
1. де
.
2. .
3. (uv)’ =u'v + uv'.
Останнє правило поширюється на добуток п співмножників: похідна добутку п функції дорівнює добутку похідної першого співмножника на всі інші плюс добуток похідної другого співмножника на всі інші плюс і т.д., плюс добуток похідної п -го співмножника на всі інші:
4. ;
.
Похідна складної функції , де
, тобто
, дорівнює добутку похідної даної функції
по проміжному аргументу
на похідну проміжного аргументу
по
:
(2.13)
Аналогічне правило має місце й у випадку, коли складна функція задана ланцюжком, що містить три і більш ланки. Наприклад, якщо , то:
(2.14)
Приклад 2.35.Знайти похідну функції .
Розв’язання. Спочатку знаходимо похідну від логарифму, враховуючи, що проміжним аргументом є . Отримуємо
. Подумки закреслюємо вираз
та бачимо вираз
. Диференціюємо синус (проміжним аргументом в даному випадку є
). Отримуємо
. Подумки закреслюємо вираз
, та бачимо вираз
. Диференціюємо корінь:
. Залишається х, похідна від якого дорівнюється одиниці. Тепер
запишемо у вигляді добутку всіх проміжних результатів:
Для правильного вибору першої (основної) функції рекомендуємо таке правило: нею буде та функція, яка виконується останньою (виключення складає показникова функція).
Приклад 2.36.Знайти похідну функції .
Розв’язання.За формулою (2.14) та використовуючи таблицю основних формул диференціювання маємо:
Рекомендуємо для зменшення громіздких записів наступний прийом, що дає можливість проводити роздроблення складної функції на ланки усно і записати вираз для похідної відразу.
Приклад 2.37.Знайти похідну функції: .
Розв’язання.подумки виконуємо диференціювання спочатку, потім
, та
.
результат: .
Зауваження 1. Варто пам'ятати, що на кожній стадії диференціюється тільки один вид функції. Так, диференціюючи функцію , ми спочатку диференціюємо тільки корінь кубічний, а потім лише
.
Типова помилка полягає в тому, що відразу диференціюють кілька функцій (невірний результат).
Зауваження 2. Зустрічаються функції, які доцільно спочатку спростити, а потім диференціювати. Так, якщо , то після того, як ми функцію логарифмуємо та запишемо у вигляді
, диференціювання істотно спроститься.
Приклад 2.38.Знайти рівняння дотичної і нормалі до параболи
у точці, де х = 2.
Розв’язання. Відповідно до геометричного змісту похідна функції в точці
дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в цій точці. Рівняння дотичної до кривої
у точці М(х0,у0):
(2.15)
Перпендикуляр АВ до дотичної в точці М називається нормаллю до кривої в цій точці. З огляду на умову перпендикулярності прямих ( ), рівняння нормалі запишеться у виді:
(2.16).
Абсцисі х = 2 відповідають ординати , так що треба знайти рівняння дотичної і нормалі в точці М(2, 0). Знаходимо у'
. У точці М(2, 0) у'=1.
За формулою (2.15) рівняння дотичної має наступний вид у точці М: .
Рівняння нормалі у точці А знайдемо за формулою (2.16): .
Контрольний тест. Знайти похідні функцій: