Лекція 12. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ
12.1. Інтеграли з нескінченними межами (невласні інтеграли I роду)
Нехай функція 
визначена і неперервна при усіх значеннях х таких, що 
. Розглянемо інтеграл 
. Цей інтеграл має смисл при усіх 
. При зміні b інтеграл змінюється. Розглянемо питання про поведінку цього інтеграла при 
.
Означення. Якщо існує скінченна границя 
, то ця границя називається невласним інтегралом від функції на інтервалі 
і позначається так: 
.
Отже, за означенням маємо: 
.
Говорять, що в цьому випадку невласний інтеграл існує або збігається. Якщо при не має скінченної границі, то говорять, що невласний інтеграл не існує або розбігається.
Легко з'ясувати геометричний зміст невласного інтеграла у випадку, коли 
: якщо інтеграл 
виражає площу області, обмеженої кривою , віссю абсцис і ординатами 
, 
, то природно вважати, що невласний інтеграл виражає площу необмеженої (нескінченної) області, замкнутої між лініями , і віссю абсцис.
Аналогічним чином означаються невласні інтеграли і від інших нескінченних інтервалів.
. 
.
Останню рівність варто розуміти так: якщо кожний із невласних інтегралів, який стоїть справа, існує, то існує (збігається) за означенням й інтеграл, який стоїть зліва.
Приклад 3.25. Обчислити невласні інтеграли:
а) 
б) 
.
Другий інтеграл дорівнює 
. Обчислимо перший інтеграл.
Отже, 
.
Приклад 3.26. Показати, для яких значень 
інтеграл 
збіжний, а для яких розбіжний.
Розв'язання.
При 
.
Отже, щодо аналізованого інтеграла можна зробити такі висновки:
якщо 
, то 
, тобто інтеграл збігається;
якщо 
, то 
, тобто інтеграл розбігається.
При 
, тобто інтеграл розбігається.
12.2. Інтеграл від необмеженої функції (невласні інтеграли II роду)
Нехай функція визначена і неперервна при 
, а при функція або не визначена, або містить розрив. У цьому випадку не можна говорити про інтеграл як про границю інтегральних сум, тому що не визначена на відрізку 
, і тому ця границя може і не існувати.
Інтеграл від функції , необмеженій в точці b, означається таким способом: 
.
Означення. Якщо границя, яка стоїть справа, існує, то інтеграл називають невласним збіжним інтегралом, інакше інтеграл називають розбіжним.
Якщо функція необмежена в лівому кінці відрізка (тобто при ), то за означенням 
.
Якщо функція необмежена в деякій точці 
, яка лежить усередині відрізка , то 
, якщо обидва невласні інтеграли, які стоять у правій частині рівності, існують.
Приклад 3.27. Обчислити невласні інтеграли:
а) 
б) 
.
Отже, даний інтеграл розбігається.
Зауваження. Якщо функція , визначена на відрізку , має всередині цього відрізка скінченне число точок розриву 
, то інтеграл від функції на відрізку означається так: 
, якщо кожний із невласних інтегралів у правій частині рівності збігається. Якщо ж хоча б один із цих інтегралів розбігається, то і називається розбіжним.
Багато прикладів зручніше розв’язувати, використовуючи умовну форму запису.
Приклад 3.28. Знайти 
Розв'язання. 
Під записом, наприклад, 
мається на увазі 
.
Приклад 3.29.Знайти 
Розв’язання.Підінтегральна функція розривна в точці х = 0, що лежить усередині відрізка [-1;1]. За означенням, 
Обчислимо перший інтеграл. За означенням, 
Тому що цей інтеграл розбігається, то розбігається і заданий інтеграл.
Зауваження. Якби ми не звернули увагу на те, що при 
функція 
розривна, і стали б обчислювати інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніця, то одержали б помилковий результат.
Модуль IV. диференціальні рівняння. Ряди