Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Означення. Диференціальне рівняння типу
(4.7)
називають рівнянням із відокремленими змінними, тому що в цьому рівнянні змінні розділені, тобто при 
знаходиться тільки функція від х, а при 
- тільки функція від у.
Інтегруючи обидві частини цього рівняння, одержимо співвідношення, яке пов'язує розв'язок у, незалежну змінну х і довільну сталу С, тобто одержимо загальний інтеграл рівняння
. (4.8)
Приклад 4.1. Знайти загальний розв'язок рівняння 
.
Розв'язання.
, 
, 
.
Приклад 4.2. Розв'язати рівняння 
Розв'язання.
Представляють 
Запишемо рівняння в диференціалах 
Для відокремлення змінних треба розділити кожну з частин рівняння на добуток функцій 
. Множник 
називається розділяючим множником.
Змінні відокремлені і можна інтегрувати.
;
Отриманий розв'язок є загальним інтегралом диференціального рівняння. Можна одержати і загальний розв'язок диференціального рівняння, якщо перетворити отриманий розв'язок:
.
Приклад 4.3. Знайти загальний розв'язок рівняння
.
Розв'язання. Розділяючи змінні, знаходимо:
,
.
Інтегруючи, отримаємо:
або 
.
Останнє співвідношення є загальним інтегралом даного рівняння.
Приклад 4.4. Розв'язати задачу Коші
, 
.
Розв'язання. Розділяючи змінні, знаходимо:
.
Інтегруючи, отримаємо:
,
.
Одержали загальний інтеграл вихідного рівняння.
Розв'язавши останнє рівняння відносно у, знайдемо загальний розв'язок вихідного рівняння
, 
, 
.
Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові :
, 
, 
, 
.
- розв'язок задачі Коші.
Однорідні диференціальні рівняння
Означення. Функція 
називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність
.
Приклад 4.5. 
- однорідна функція першого порядку, тому що
.
Приклад 4.6. 
- однорідна функція другого порядку, тому що
.
Приклад 4.7. 
- однорідна функція нульового порядку, тому що
.
Означення. Рівняння виду 
називається однорідним, якщо функції при 
і 
є однорідними однакового порядку.
Однорідне рівняння зводиться до вигляду 
і за допомогою заміни змінних 
, де 
, 
, або 
зводиться до рівняння із змінними, які відокремлюються.
Приклад 4.8. Розв'язати задачу Коші
, 
.
Розв'язання. 
- однорідні функції першого порядку
, 
, 
,
, 
,
,
, 
, 
, 
,
- загальний розв'язок.
Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові : 
, 
.
- розв'язок задачі Коші.
Лінійні диференціальні рівняння
Означення. Лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння, що має вигляд
, (4.9)
де 
і 
- задані неперервні функції від х (або сталі).
Якщо 
, то рівняння називається однорідним.
Метод Бернуллі
Шукаємо розв'язок рівняння (4.9) у вигляді добутку двох функцій від х:
, (4.10)
. (4.11)
Підставши у і 
в (4.9), маємо:
, 
. (4.12)
Виберемо функцію 
такою, щоб
, (4.13)
, 
, 
,
, 
,
, 
.
Так як нам досить якого-небудь відмінного від нуля розв'язку рівняння (4.13), то за функцію 
візьмемо 
.
Підставляючи знайдене значення в (4.12), одержимо:
, 
, 
, 
.
Підставляючи 
й у (4.10), одержуємо розв'язок неоднорідного рівняння:
,
. (4.14)
Приклад 4.9. Розв'язати рівняння
.
Розв'язання. 
, , звідки маємо:
, 
.
Згідно методу виберемо функцію такою, щоб 
, тоді 
. Розв’язуємо перше рівняння
, 
, 
.
Підставляємо в друге
, 
, 
, 
,
.
Підставляючи 
й , одержуємо загальний розв'язок рівняння:
.
2. Метод Лагранжа (метод варіації довільної сталої)
Суть методу полягає в тому, що спочатку знаходимо загальний розв'язок відповідного лінійного однорідного рівняння 
.
Потім, вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:
. (4.15)
Розв'язок (4.15) повинен задовільняти рівняння (4.9). Диференціюючи і підставляючи (4.15) в (4.9), маємо:
,
,
, 
,
,
. (4.16)
Він співпадає з розв'язком (4.14).
Приклад 4.10. Розв'язати рівняння методом Лагранжа
.
Розв'язання. Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння
, 
, 
, 
.
Вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:
, 
.
Підставимо у вихідне рівняння у, і з отриманого диференціального рівняння знайдемо функцію 
:
,
, 
.
– загальний розв'язок.