И их основные следствия. Формула Байеса
10. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ
Посмотрите на рис. 8.3. Множество 
составляет часть множества 
поэтому 
Величина
называется условной вероятностью. Более полное его название таково:
есть вероятность события 
при условии, что 
уже произошло.
Запишем это равенство в виде 
Обе части разделим на 
Получим
 
|
| Формула определения вероятности произведения событий. |
(10.1)
Ввиду того, что 
события , можно менять ролями.
Из формулы (10.1) можно получить вероятность произведения трёх событий:
З а д а ч а 1. Буквы слова 
выписаны на отдельных карточках и перемешаны. Вы берёте 4 карточки одну за другой и укладываете по порядку. Найдите вероятность того, что появится слово 
□ 
■
11. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ
Если 
|
то говорим, что событие не зависит от события 
|
(11.1)
Формула (11.1) показывает, что событие не влияет на вероятность появления события 
Легко показать, что если не зависит от то и не зависит от
¨ Дано: не зависит от Тогда
(11.1) 
(а)
■
Теперь докажем равносильность следующих утверждений
 независимые события
|
|
|
(11.2)
Аналогичная формула верна для любого числа независимых событий.
¨ независимые события,
(11.1)
(10.1)
. ■
З а д а ч а 1. Два стрелка стреляют по цели. Вероятности их попаданий равны соответственно 
и 
Найти вероятность того, что
а) оба стрелка попадут в цель;
б) оба стрелка промахнутся;
в) первый стрелок попадёт, второй – промахнётся.
□ Вводим обозначения
– независимые события.
Тогда по условию 
отсюда 
а) Вероятность того, что в цель попадёт первый стрелок и второй, равна
(11.2) 
б) Вероятность того, что промахнётся первый стрелок и второй, равна
в) Вероятность того, что в цель попадёт первый стрелок, а второй промахнётся, равна
■
12. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ СОБЫТИЙ
| Вероятность суммы двух событий определяется по формуле |
|
(12.1)
¨ Эта формула вытекает из (8.2) путём деления обеих частей на 
■
З а д а ч а 1. Из колоды, содержащей 36 карт, вынимаются две карты. Какова вероятность того, что среди них будет хотя бы одна дама?
□ Пусть 
Вероятность появления хотя бы одной дамы будет равна
■
Вероятность суммы событий можно определять и по другой формуле, которую можно распространить на любое число событий:
|
(12.2)
¨ 
■
З а д а ч а 2. Вероятности попаданий в цель из трёх орудий равны соответственно 
Найти вероятность попадания хотя бы из одного орудия при залпе из всех орудий.
□ Пусть 
в цель попадёт первое орудие, 
в цель попадёт второе орудие, 
в цель попадёт третье орудие, 
Тогда вероятность попадания хотя бы из одного орудия будет равна
■
Из формулы (12.1) получаем формулу, верную для любого числа событий:
|
(12.3)
¨
■
13. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Если 1)  несовместные события (гипотезы),
2) когда произойдёт одно из них, может произойти событие
|
то 
|
(13.1)
¨ Дано: несовместные события, (а)
событие может произойти вместе с 
или с 
или с 
(б)
Тогда 
(в)
(а) события 
несовместны,
+ 
■
З а д а ч а 1. В ящике лежат 40 деталей, изготовленных Уховым, 30 деталей, изготовленных Носовым и 20 деталей, изготовленных Криволаповым. Ухов допускает 6% брака, Носов – 5%, Криволапов – 3%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь не будет бракованной.
□ Пусть 
наудачу взятая деталь не будет бракованной.
Введём 3 гипотезы:
деталь изготовлена Уховым, тогда 
деталь изготовлена Носовым, тогда 
деталь изготовлена Криволаповым, тогда 
По формуле (13.1) получаем
■
14. ФОРМУЛА БАЙЕСА
| Если 1) несовместные события (гипотезы),
2) когда произойдёт одно из них, может произойти событие
|
то 
|
(14.1)
В этой формуле знаменатель 
вычисляется по формуле (13.1).
¨ Так как 
то по формуле (10.1) будем иметь 
отсюда ■
З а д а ч а 1. Пусть в ситуации, описанной в предыдущей задаче, произошло событие: наугад взятая деталь оказалась небракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена Уховым?
□ Введём те же обозначения, что и в предыдущей задаче. Так как теперь произошло событие наудачу взятая деталь оказалась небракованной, то вероятность события 
деталь изготовлена Уховым, найдётся по формуле Байеса:
■
15. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Если а) испытание повторяется  раз,
б) результаты испытаний не зависят друг от друга,
в) вероятность  появления события одинакова во всех испытаниях,
|
то вероятность того, что произойдёт  раз, равна
|
где  вероятность непоявления одинаковая во всех испытаниях.
|
¨ Дано: выполнены условия а, б, в. Заметим, что опыт состоит в повторении испытания раз. Приведём один из возможных благоприятных шансов:
| Номер испытания | 1 2 3 4 … n - 1 n | ||||||||
| Появление события A |
| Количество единицравно k, количество нулей равно n - k. | |||||||
| Вероятность | q p p q … q p |
Вероятность этого шанса равна 
Таких шансов равно числу способов выбрать клеток (в которые мы вписываем 1) из имеющихся, т. е. равно 
Эти шансы несовместны, поэтому согласно (12.3) 
■
Рассмотрим частный случай, когда 
Введём события 
событие произойдёт в 
м испытании. Тогда
(12.3) 
(б), (в) 
З а д а ч а 1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна Найти вероятность 
попаданий при 
выстрелах.
□ Дано 
Тогда 
■
16. ПРИБЛИЖЁННЫЕ ФОРМУЛЫ,
ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ФОРМУЛЫ БЕРНУЛЛИ
Когда число опытов велико, вычисления по формуле Бернулли становятся громоздкими из-за необходимости вычислять факториалы больших чисел. В таком случае применяют приближённые формулы, точность которых повышается при увеличении 
Приведем формулы без их вывода.
1.Формула Пуассона.
Если 
|
то 
|
где 
|
(16.1)
З а д а ч а 1. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 
Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажутся 5 нестандартных.
□ Имеем 
Тогда 
■
2. Локальная формула Лапласа.
Если 
|
то 
|
где 
|
(16.2)
Значения функции 
можно брать из таблиц, которые обычно имеются в учебниках по теории вероятностей. Эта функция чётная, 
(рис. 16.1). При удалении от начала координат стремится к нулю так быстро, что при 
считают, что 
Так как 
то из 16.2) следует, что
Рис. 16.1
З а д а ч а 2. Найти вероятность того, что при 600 выстрелах
мишень будет поражена 250 раз, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0.4.
□ Имеем 
Тогда 
■