Решение в программе MathCAD

 

Параметры a, b уравнения линейной регрессии y=a+bx можно найти, решая методом Гаусса систему уравнений . Решать систему матричным методом не рекомендуется, так как часто в задачах об аппроксимации эмпирических данных матрица ATA получается плохо обусловленной, и при вычислении обратной к ней матрицы возникают большие погрешности округления.

Для получения уравнения линейной регрессии применяют функции slope(vx,vy) и intercept(vx,vy), где a=intercept(vx,vy), b=slope(vx,vy), vx, vy - векторы значений независимого аргумента x и зависимой переменной y. Пример применения этих функций приведен ниже.

 

 

Красная линия отражает заданную зависимость, синяя – линия линейной регрессии. С помощью полученного уравнения можно находить значения y в промежуточных точках заданного интервала значений (u(1,5))и во внешних точках этого интервала (u(5)).

 

6. Получить уравнение множественной линейной регрессии. Построить графики.

Решение в программе Excel

Изучается влияние стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода торговых предприятий. Для этого по 12 торговым предприятиям были получены данные:

 

Номер предприятия Валовой доход за год, млн. руб. Среднегодовая стоимость, млн. руб
основных фондов оборотных средств

 

 

Чтобы составить систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов уравнения y=a+b1x1+b2x2, заполним таблицу:

 

№ y x1 x2 x1^2 x1*x2 x2^2 x1*y x2*y
Σ

 

Решим систему линейных уравнений:

a=-24,023; b1=0.3829; b2=1.6774

 

Т.о. получили уравнение

y=0.3829x1+1.6774x2 – 24,023,

 

определяющее теоретическое значение y (теор).

x1 x2 y y(теор) │y-y(теор)│
197,29 5,7138
80,633 17,6326
73,066 28,0659
100,8 12,2018
44,387 76,6134
98,903 10,9028
110,97 0,973
93,907 37,9074
x1 x2 y y(теор) Ιy-y(теор)Ι
80,014 0,014
212,75 24,252
167,62 7,6217
90,662 15,6616

 

Очевидно, что полученное уравнение достаточно хорошо аппроксимирует исходные данные.

Уравнение линейной множественной регрессии можно также получить с помощью встроенной статистической функции ЛИНЕЙН, которая определяет параметры линейной регрессии y=a+b1x1+…+bmxm, причем в этом случае будет выводиться дополнительная регрессионная статистика. Порядок вычисления аналогичен случаю парной регрессии:

1. введите исходные данные;

2. выделите область пустых ячеек 5 (m-1) (5 строк, m-1 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1 (m-1) – для получения только оценок коэффициентов регрессии;

3. активизируйте Мастер функций и в категории Статистические выберите функцию ЛИНЕЙН;

4. заполните аргументы функции

известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

известные значения х – диапазон, содержащий данные независимого признака;

5. константа – логическое значение, которое указывает на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении; если константа=1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если константа=0, то свободный член равен 0;

статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если статистика=1, то дополнительная информация выводится, если статистика=0, то выводятся только параметры уравнения;

6. в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем на комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

 

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента bm Значение коэффициента bm-1 … Значение коэффициента a
Среднеквадратическое отклонение bm Среднеквадратическое отклонение bm-1 … Среднеквадратическое отклонение a
Коэффициент детерминации R2 Среднеквадратическое отклонение y    
F-статистика Число степеней свободы    
Регрессионная сумма квадратов Остаточная сумма квадратов    

 

Применяя функцию ЛИНЕЙН(В2:В13, С2:D13, 1, 1), получим

 

# y x1 x2        
       
       
       
       
  1,677398105 0,382903574 -24,02304365
  0,421525183 0,253317751 28,05754959
  0,75569291 32,65658398 #Н/Д
  13,91944086 #Н/Д
  29688,84437 9598,072295 #Н/Д
       
       
       

 

Таким образом y=-24.023+0.382904x1+1.677398x2, что совпадает с результатом, полученным ранее. Как показывает статистика, R2=0.755693, т.е. связь достаточно тесная. С помощью рассмотренной функции можно получить и уравнения нелинейной множественной регрессии, если эти уравнения линейны относительно своих параметров a, b1, …, bm. Например, чтобы получить уравнение y=a+b1x1+b2x2+b3x12+b4x1x2+b5x22, достаточно получить параметры линейной регрессии y=a+b1x1+b2x2+b3z3+b4z4+b5z5, где z3=x12, z4=x1x2, z5=x22.