Используя метод логарифмического дифференцирования, найти производные функций
а) ; б)
; в)
; г)
.
27.4. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой
.
27.5. Составить уравнение касательной к графику функции , перпендикулярной прямой
.
27.6. Составить уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку
.
27.7. Найти угол между параболами и
в точке их пересечения.
27.8. Составить уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой, проходящей через точки (1;7) и (-2;-2).
27.9. Найти производные гиперболических функций ,
,
и
.
Найти производные неявных функций
а)
б)
в)
г)
27.11. Найти производные функций , заданных параметрически
а)
б)
в)
г)
Занятие № 28.
Дифференциал и его применение в приближенных вычислениях.
Найти дифференциалы функций
а)
б)
в)
г)
Найти приближенно изменение функции
а) , а
меняется от 100 до 101
б) , а
меняется от
до
в) , а
меняется от 2 до 1,98
г) , а
меняется от
до
д) , а
меняется от 1 на 0,2
Вычислить приближенно
а)
б) , если
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
28.4. С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до 1%?
Занятие № 29.
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
29.1. Найдите производную 4-го порядка от функции
Найдите производные 2-го порядка функций
а)
б)
в)
Найти производные 2-го порядка от функций, заданных параметрически
а)
б)
Найти производные n-го порядка функций
а)
б)
в)
Найти вторые дифференциалы функций
а)
б)
в)
29.6. Найти третий дифференциал функции
29.7. Разложить по формуле Тейлора (до степени не ниже 3-й) функции:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
Вычислить приближенно с точностью до 0,0001
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Занятие № 30.
Правило Лопиталя.
30.1. Используя правило Лопиталя, найти пределы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
30.2. Используя правило Лопиталя, найти пределы:
а)
б)
в)
г)
д)
30.3. Используя правило Лопиталя, найти пределы:
а)
б)
в)
г)
Занятие № 31.
Исследование функции на монотонность и экстремум
С помощью первой производной.
Найти интервалы монотонности и экстремумы функций
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
Найти наибольшее и наименьшее значение функций на заданных отрезках
а)
б)
в)
г)
д)
Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых сторон имеет периметр, равный 6 см. Найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом и найти этот объем.