Функции нескольких переменных, их свойства и графики
45.1 Для функции 
найти:
а) 
; б) 
; в) 
.
45.2. Для функции 
найти:
а) 
; б) 
; в 
; г) 
;д) 
.
45.3. Найти область определения и множество значений функции 
.Построить график этой функции и линии уровня.
45.4. Найти и изобразить области определения следующих функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
.
45.5. Найти линии уровня данных функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
45.6. Найти поверхности уровня функции трех переменных:
а) 
;б) 
;
в) 
; г) 
.
Занятие № 46.
Пределы и непрерывность функции нескольких переменных.
46.1 Вычислить пределы 
, 
, 
:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
46.2. Вычислить пределы 
, 
, 
:
а) 
; б) 
;
в) 
.
46.3. Исследовать на непрерывность функции в точке (0;0):
а) 
;
б) 
;
в) 
46.4. Найти и исследовать все точки разрыва функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Занятие № 47.
Частные производные и дифференциалы.
47.1. Найти частные производные первого порядка следующих функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
.
47.2. Найти частные производные первого и второго порядков следующих функций:
а) ; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
.
47.3. Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
47.4. Найти производные первого и второго порядков от следующих сложных функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
47.5. Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих сложных функций: а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Занятие № 48.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
48.1. Написать уравнения касательной плоскости к поверхности:
а) 
в точке (1;-2;3);
б) 
в точке (2;3;2);
в) 
в точке (1;1;1);
г) 
в точке (3;4;1c).
48.2. Определить плоскость, касательную к поверхности 
и параллельную плоскости 
.
48.3. Написать уравнения нормали в точке (2; -1; 4) к поверхности конуса 
.
48.4. Найти углы с осями координат нормали к поверхности 
в точке (0; 2;-3).
48.5. Написать уравнения нормали к поверхности 
в точке (2; 5; 1).
48.6. Найти углы с осями координат нормали к поверхности 
в точке (3;3; 0)
48.7 В какой точке касательная плоскость к поверхности 
параллельна:
1) плоскости хОу;
2) плоскости 
;
Написать уравнения этих касательных плоскостей.
Занятие № 49.
Производная по направлению. Градиент.
49.1 Пусть 
. Построить линии уровней и grad u в точке А(3;2).
49.2. Пусть 
. Построить линии уровней и grad u:
а) в любой точке прямой 
;
б) в любой точке прямой 
.
49.3. Найти градиент функции 
в точке А(4;-2;7).
49.4. Найти производную функции 
в точке (1;1;1) в направлении вектора 
, и найти grad u в той же точке и его длину. Построить поверхности уровней.
49.5. Найти производную функции 
в точке (2;3; 4) в направлении радиус-вектора этой точки.
49.6. Построить линии уровня функции 
, проходящей через точку А(4;4). Построить grad u(4; 4) и убедиться, что он перпендикулярен линии уровня.
49.7. Для функции 
построить линии уровня и градиент. Сравнить их направления в точках (2;2) и (2;-2).
49.8. Найти угол между градиентами функции u в точках А и В, если:
а) 
;
б) 
.
Занятие № 50.
Исследование функций нескольких переменных на экстремум.
50.1. Найти стационарные точки и исследовать на экстремум следующие функции:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
50.2. Исследовать на экстремум следующие функции нескольких переменных:
а) 
:
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
.
Занятие № 51.