Змушені коливання. Резонанс
Щоб у реальній коливальній системі одержати незатухаючі коливання, треба компенсувати цій системі втрати енергії. Таку компенсацію можна здійснити за допомогою якого-небудь періодично діючого фактора X(t), який змінюється за гармонічним законом: 
Для механічних коливань пружинного маятника роль X(t) відіграє зовнішня вимушуючи сила
(1)
З урахуванням цієї сили закон руху пружинного маятника запишеться у вигляді
Якщо скористатися позначеннями 
, 
, то прийдемо до рівняння
(2)
Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Розв’язок такого рівняння складається з двох частин, загального розв’язку відповідного рівняння без правої сторони і часткового розв’язку цього рівняння з правою стороною, тобто
де A0 ─ амплітуда зміщення в початковий момент часу (t=0); А ─ амплі-туда коливань, яка установиться через деякий час.
Через деякий час t1, завдяки дії вимушеної сили F0, амплітуда коливань досягне максимального значення (рис. 1). З цього моменту часу розв’язком рівняння (2) буде лише функція
(3)
Рис. 1 Відповідні похідні від (3) підставимо в рівняння (2), одержимо
(4)
У виразі (4) сталі величини А і ω повинні мати такі значення, щоб гармонічна функція 
дорівнювала сумі трьох гармонічних функцій, які стоять в лівій частині рівняння. Для виконання цієї умови, необхідно щоб сума трьох векторів при відповідних косинусах в лівій частині (4) дорівнювала вектору, який стоїть біля косинуса в правій частині. Однак вектори 
і 
напрямлені по одній лінії, але в різні боки. Вектор 
напрямлений перпендикулярно до перших двох. Зазначена вище умова може бути реалізована за допомогою векторної діаграми (рис. 2). Векторна діаграма дає можливість визначити амплітуду і початкову фазу вимушених коливань. З діаграми видно, що 
. (5)
Звідки амплітуда вимушених коливань буде дорівнюват 
(6)
Початкова фаза вимушених коливань, як видно з векторної діаграми, дорівнює
(7)
З урахуванням співвідношень (6) і (7) розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань (2) матиме вигляд 
(8)
Якщо розглянути електричний коливальний контур, то роль змінної величини в цьому випадку буде мати е.р.с., або змінна напруга 
(9)
Диференціальне рівняння вимушених коливань в коливальному контурі, з урахуванням (9), буде мати вигляд 
(10)
Використовуючи позначення, аналогічні до (2), прийдемо до рівняння
(11) Розв’язком рівняння (11) є функція, аналогічна до (3), тобто
(12)
Амплітуда заряду вимушених електромагнітних коливань буде дорівнювати
. (13)
Підстановка значень 
і 
в (13) дає значення амплітуди електромагнітних коливань в такому вигляді 
(14)
Похідна за часом від (12) дає можливість одержати в коливальному контурі закон зміни електричного струму 
,
де 
─ максимальний струм у коливальному контурі.
Щоб визначитирезонансну частоту 
— частоту, при якій амплітуда А зміщення досягає максимуму, — потрібно дослідити на максимум функцію 
. Диференціюємо підкореневий вираз цієї функції по ω і прирівнюємо його до нуля:
,
Ця рівність виконується при двох умовах 
і 
фізичний зміст яких має лише позитивне значення. Отже, резонансна частота буде дорівнювати
(15)