Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Определить, какие из точек M1(3; 1), M2(2; 3), M3(6; 3), M4(-3; -3), M5(3; -1), M6(-2; 1) лежат на прямой  и какие на ней не лежат.
| ||
Точки P1, P2, P3, P4, P5 расположены на прямой  ; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек.
| ||
Точки Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 расположены на прямой  ; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек.
| ||
Определить точки пересечения прямой  с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.
| ||
Найти точку пересечения двух прямых  ,  .
| ||
Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями  ,  ,  . Определить координаты его вершин.
| ||
Даны уравнения двух сторон параллелограмма  ,  и уравнение одной из его диагоналей  . Определить координаты вершин этого параллелограмма.
| ||
Стороны треугольника лежат на прямых  ,  ,  . Вычислить его площадь S.
| ||
Площадь треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2), В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой  . Определить координаты вершины С.
| ||
Площадь треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2; -3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на прямой  . Определить координаты третьей вершины С.
| ||
| Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy: | ||
| 220.1 | k=2/3, b=3; | |
| 220.2 | k=3, b=0; | |
| 220.3 | k=0, b=-2; | |
| 220.4 | k=-3/4, b=3; | |
| 220.5 | k=-2, b=-5; | |
| 220.6 | k=-1/3, b=2/3.
| |
| Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для каждой из прямых: | ||
| 221.1 |  ;
| |
| 221.2 |  ;
| |
| 221.3 |  ;
| |
| 221.4 |  ;
| |
| 221.5 |  .
| |
Дана прямая  . Определить угловой коэффициент k прямой:
| ||
| 222.1 | Параллельной данной прямой; | |
| 222.2 | Перпендикулярно к данной прямой.
| |
Дана прямая  . Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2; 1):
| ||
| 223.1 | Параллельно данной прямой; | |
| 223.2 | Перпендикулярно данной прямой.
| |
Даны уравнения двух сторон прямоугольника  ,  и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.
| ||
Даны уравнения двух сторон прямоугольника  ,  и уравнение одной из его диагоналей  . Найти вершины прямоугольника.
| ||
Найти проекцию точке Р(-5; 13) относительно прямой  .
| ||
Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой .
| ||
| В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними: | ||
| 228.1 |  ,  ;
| |
| 228.2 |  ,  ;
| |
| 228.3 | ,  ;
| |
| 228.4 |  ,  ;
| |
| 228.5 |  ,  .
| |
| Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки: | ||
| 229.1 | M1(2; -5), M2(3; 2); | |
| 229.2 | P(-3, 1), Q(7; 8); | |
| 229.3 | A(5; -3), B(-1; 6).
| |
Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.
| ||
Даны середины сторон треугольника M1(2; 1), M2(5; 3), M3(3; -4). Составить уравнение его сторон.
| ||
Даны две точки P(2; 3), Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку  .
| ||
Составить уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
| ||
Даны вершины треугольника M1(2; 1), M2(-1; -1), M3(3; 2). Составить уравнения его высот.
| ||
Стороны треугольника даны уравнениями  ,  , . Определить точку пересечения его высот.
| ||
Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.
| ||
Даны вершины треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.
| ||
Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).
| ||
Через точки M1(-1; 2), M2(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.
| ||
Доказать, что условие, при котором три точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) лежат на одной прямой, может быть записано в следующем виде:
| ||
Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), может быть записано в следующем виде:
| ||
Даны последовательные вершины выпуклого четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6). Определить точку пересечения его диагоналей.
| ||
Даны две смежные вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.
| ||
Даны уравнения двух сторон прямоугольника  ,  и уравнение его диагонали  . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.
| ||
Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.
| ||
Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).
| ||
Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2; -3), B(-5; 1).
| ||
Найти точку M1, симметричную точке М2(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2).
| ||
На оси абсцисс найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей.
| ||
На оси ординат найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей.
| ||
На прямой  найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы наименьшей.
| ||
На прямой  найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы наибольшей.
| ||
Определить угол  между двумя прямыми:
| ||
| 253.1 |  , ;
| |
| 253.2 |  ,  ;
| |
| 253.3 |  ,  ;
| |
| 253.4 |  ,  .
| |
Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(2; 1) под углом 450 к данной прямой.
| ||
Точка А(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой  . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
| ||
Даны две противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2). Составить уравнения его сторон.
| ||
Точка E(1; -1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой  . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
| ||
Из точки M0(-2; 3) под углом  к оси Ox направлен луч света. Известно, что  . Дойдя до оси Ox, луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат падающий и отраженный лучи.
| ||
Луч света направлен по прямой , луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
| ||
Даны уравнения сторон треугольника  ,  ,  . Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.
| ||
Доказатть, что уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1; y1) параллельно прямой  , может быть записано в виде  .
| ||
| Составить уравнение прямой, проходящей через точку М1(2: -3) параллельно прямой: | ||
| 262.1 |  ;
| |
| 262.2 |  ;
| |
| 262.3 |  ;
| |
| 262.4 |  ;
| |
| 262.5 |  .
| |
Доказать, что условие перпендикулярности прямых  ;  может быть записано в следующем виде:  .
| ||
| Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых. | ||
| 264.1 |  ,  ;
| |
| 264.2 |  ,  ;
| |
| 264.3 |  ,  ;
| |
| 264.4 |  ,  ;
| |
| 264.5 |  , ;
| |
| 264.6 |  ,  .
| |
Доказать, что формула для определения угла между прямыми , может быть записана в следующей форме:
| ||
| Определить угол , образованный двумя прямыми. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.
| ||
| 266.1 | ,  ;
| |
| 266.2 |  ,  ;
| |
| 266.3 |  ,  .
| |
Даны две вершины треугольника M1(-10; 2), M2(6; 4); его высоты пересекаются в точке N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M3.
| ||
Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.
| ||
В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ:  , уравнения высот АМ:  и BN:  . Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.
| ||
Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан  ,  .
| ||
Составить уравнения сторон треугольника, сли даны одна из его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот  ,  .
| ||
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис  ,  .
| ||
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(2; 6), а также уравнения высоты  и биссектрисы  , проведенных из одной вершины.
| ||
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -1), а также уравнения высоты  и биссектрисы  , проведенных из различных вершин.
| ||
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; -1), а также уравнения высоты  и медианы  , проведенной из одной вершины.
| ||
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -7), а также уравнения высоты  и медианы  , проведенных из различных вершин.
| ||
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы и медианы  , проведенных из одной вершины.
| ||
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы  и медианы  , проведенных из различных вершин.
| ||
Составить уравнение прямой, которая проходит черезначало координат и вместе с прямыми  ,  образует треугольник с площадью, равной 1,5.
| ||
Среди прямых, проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключенный между прямыми  ,  , делится в точке Р пополам.
| ||
Через точку Р(-3; -1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, заключенный между прямыми  ,  , делится в точке Р пополам.
| ||
Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми ,  , делился бы в точке Р пополам.
| ||
Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми  ,  , равна  .
| ||
Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4), зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми  ,  , равна 5.
|
Глава 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой "в отрезках"