Тема. Знаходження екстремуму функції двох змінних. Застосування двох змінних в економічній теорії
Мета роботи: засвоїти, правила дослідження на екстремум; навчитись проводити дослідження функції двох змінних на екстремум; застосовувати здобуті навички для розв’язування прикладних задач економічного змісту.
Наочне забезпечення та обладнання:
1. Інструкційні картки;
2. Приклади задач;
3. Роздаткові матеріали: опорні конспекти “ Диференціювання функцій багатьох змінних”
4. Обчислювальні засоби: калькулятор.
Теоретичні відомості про дослідження функції z = f (x,y) на екстремум
Екстремуми функції двох змінних (необхідні умови екстремуму).
Функція z = f (x,y) має максимум (мінімум) в точці 
, якщо значення в цій точці більше (менше), ніж її значення в будь – якій іншій точці 
деякого околу точки 
, тобто 
(відповідно 
) для всіх точок , що задовольняють умову 
, де 
- достатньо мале число.
Максимум або мінімум функції називається її екстремумом. Точка , в якій функція має екстремум, називається точкою екстремуму.
Якщо диференційована функція z = f (x,y) досягає екстремуму в точці , то її частинні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю, тобто 
; 
.
Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними точками функції. Не всі стаціонарні точки є точками екстремуму.
Нехай - стаціонарна точка функції z = f (x,y). Позначимо 
; 
; 
. Складемо дискримінант 
. Тоді:
якщо 
, то функція в точці має екстремум, а саме максимум при 
(або 
) і мінімум при 
(або 
);
якщо 
, то в точці екстремуму немає (достатня умова існування або відсутності екстремуму );
якщо , то необхідно дослідити питання іншими методами (сумнівний випадок).
Схема дослідження функцій z = f (x,y) на екстремум
При дослідженні функцій z = f (x,y) на екстремум (при умові, що вона двічі диференційована) користуються правилом:
1.Знаходяться частинні похідні першого порядку функції z = f (x,y) і розв’язують систему рівнянь:
Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними точками. Нехай одна з них 
2. Знаходять частинні похідні другого порядку та мішані функції z = f (x,y) і обчислюють їх значення в точці
Позначимо 
; 
; 
.
3. Обчислюють визначник
.
Якщо виявляється , що 
то функція z = f (x,y) в точці має максимум при і мінімум при . Якщо ж 
то в точці екстремуму немає. Нарешті, якщо 
то питання про екстремум в цій точці залишається відкритим і вимагає додаткового дослідження.
Задача 2. Знайти екстремум заданої функції
а) 
б) 