Общее преобразование координат в пространстве

⇐ Назад

Пусть в пространстве заданы две совершенно произвольные аффинные системы координат с общим началом, R={O,,,} и R ¢={O,, ,} – реперы, с помощью которых они определяются. Пусть – произвольный вектор, (x₁,x₂,x₃) – его координаты в первой СК, (,x₂¢ ,x₃¢ ) – во второй. Будем называть (x₁,x₂,x₃) старыми координатами вектора , а (,x₂¢ ,x₃¢ ) – новыми его координатами.

Найдем связь между этими координатами. Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса B ¢={, ,} по первому базису B ={,,}:

=с₁₁+с₂₁+с₃₁ ,

=с₁₂+с₂₂+с₃₂ , (20)

=с₁₃+с₂₃+с₃₃ .

Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером:

с₁₁ с₁₂ с₁₃

С = с₂₁ с₂₂ с₂₃

с₃₁ с₃₂ с₃₃.

Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. Имеем:

=x₁+x₂+x₃

=x₁¢ +x₂¢ +x₃¢ .

Подставим в последнее равенство выражения (20):

=x₁¢ (с₁₁+с₂₁+с₃₁)+x₂¢ (с₁₂+с₂₂+с₃₂)+x₃¢ (с₁₃+с₂₃+с₃₃).

Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты при одинаковых векторах:

=(с₁₁x₁¢ +с₁₂x₂¢ +с₁₃x₃¢ ) +(с₂₁+с₂₂x₂¢ +с₂₃x₃¢ ) + (с₃₁+с₃₂x₂¢ +с₃₃x₃¢ ) .

Сравниваем с (*), и в силу единственности разложения вектора по базису, получаем

x₁= с₁₁x₁¢ +с₁₂x₂¢ +с₁₃x₃¢ ,

x₂= с₂₁+с₂₂x₂¢ +с₂₃x₃¢ , (21)

x₃= с₃₁+с₃₂x₂¢ +с₃₃ x₃¢ .

Если использовать столбцы, составленные из координат

x₁x₁¢

X = x₂X¢= x₂¢

x₃ , x₃¢ ,

То систему (21) можно переписать в виде одного матричного равенства:

X = CX¢ (21¢ )

Þ X¢= C^–1X ,(22)

т.е. для того, чтобы найти новые координаты вектора по старым, необходимо выписать формулы, аналогичные (21), только в качестве коэффициентов будут использованы элементы матрицы C^–1, а штрихи у координат будут стоять в левых частях равенств. Можно решить систему уравнений (21) относительно неизвестных x₁¢ , x₂¢ , x₃¢ и мы получим те же формулы.

К сожалению, не всегда к моменту изучения этого параграфа студенты успевают пройти по алгебре произведение матриц и обратную матрицу. Но ко времени экзамена этот материал обязательно должен быть пройден. Необходимые пояснения будут даны на практических занятиях по геометрии.

Координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, поэтому они пересчитываются по тем же формулам (21¢) и (22). Заметим, что все рассуждения, приведенные при выводе формул (17) и (17¢) верны и для произвольной аффинной СК. Поэтому в случае переноса начала координат в точку O¢(a,b,c) координаты точки пересчитываютcя по формулам

x₁= x₁¢ +a, x₁¢ = x₁–a,

x₂= x₂¢ +b, (22) x₂¢ = x₂–b, (22¢)

x₃= x₃¢ + c. x₃¢ = x₃– c.

Все сказанное выше верно и для преобразования аффинной СК на плоскости.

Примеры решения задач.

1.ABCD – параллелограмм, O – его центр,M, N, P, Q – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Векторы = и = выбраны в качестве базисных. Найти координаты вектора в базисе {, }.

Решение. По правилу треугольника = + ; = , а по

правилу параллелограмма сложения векторов = + = + . Поэтому = (+ ) + = + . Значит, .

Ответ: .

2.Даны координаты векторов (17,0) и (–1,1) в ортонормированном базисе. Найти такое l, при котором вектор = +l имеет абсолютную величину ||=25 (если решений два, то достаточно взять одно из них). Найти единичный вектор, коллинеарный .

Решение. Вектор = +l· имеет координаты (17–l, 0+l). Находим его длину и приравниваем ее к 25. Получаем квадратное уравнение относительно неизвестного l:

(17–l)²+l²=625,

2l² – 34l + 289=625 Û 2l² – 34l – 336=0, Û

Û l²–17l–168=0.

Решая его, находимl₁=–7;l₂=24.Поскольку по условию достаточно найти только одно решение, ограничиваемся l₁=–7.Тогда находим координаты вектора (24,7). И, чтобы получить единичный вектор ‌|| , мы делим координаты вектора на длину этого вектора, т.е. на 25: .

Ответ: l₁=–7, .

3.Даны координаты вектора (–2,–2) в декартовой системе координат. Вычислить координаты вектора , полученного из поворотом: a) на угол a=120^o, б) на угол b=90°.Пусть = . Вычислить полярные координаты точки A , если полярная ось совпадает с Ox.

Решение. Координаты вектора (x¢,y¢), полученного из вектора (x,y) поворотом на угол a,вычисляются по формулам:

x¢= x·cosa – y·sina ,

y¢= x·sina + y·cosa .

(Не путать с формулами, по которым изменяются координаты данного вектора при повороте координатных осей!)

а) В нашем случае имеем cos a=– , sin a= .

x¢=– (–2) + 2· = 2,

y¢= –2·– 2·(– ) = –2 .

б) Имеем sin90°=1; cos90°= 0 и по тем же формулам находим (2,–2).

Если известны декартовы координаты точки А(x,y), то ее полярные координаты (r, φ) находятся по формулам:

r = ,

cosj = ,sinj = .

Декартовы координаты точки А совпадаютс координатами ее радиус-вектора . Поэтому А(–2,–2). Отсюда находим r = 4; cosj=–;sinj =– .Значит j= . А(4,).

Ответ:а) (2,–2); б) (2,–2); А(4,).

4.Даны координаты двух вершин A(3,-2), B(8,5) квадрата ABCD. Найти координаты двух других вершин.

Решение. Находим (5,7). Вектор может быть получен из поворотом на 90^о, либо на –90^о. Таким образом, задача имеет два решения.

Так же,как и в предыдущей задаче находим, что (–7,5), либо (7,–5). Для того, чтобы найти координаты точки D надо к координатам точки A прибавить координаты вектора : D(-4,3). Далее используем, что = и находим координаты C(1,10). Второй ответ ищется аналогично.

Ответ:C(1,10), D(–4,3), C¢(15,0), D¢(10,–8).

5.Вершины четырехугольника находятся в точках A(1,2), B(7,–6), C(11,–3), D(8,1). Показать, что ABCD – трапеция. Найти длины оснований трапеции, ее площадь и cosÐDAB.

Решение. Находим координаты векторов (6,–8), (4,3), (–3,4),(7,–1). Проверяем векторы, определяемые противоположными сторонами четырехугольника на коллинеарность:

– = –– верно, значит коллинеарен .

=– неверно, значит неколлинеарен .

Таким образом, в четырехугольнике две противоположные стороны коллинеарны, а две – нет. Значит это – трапеция, и основаниями являются AB и CD. Находим длины сторон:

½½ = = 10,

и аналогично ½½= 5;½½=5;½½= 5 .

Обозначим a =Ð BAD.

cos a = = = ,

следовательно Ð BAD = 45^o. Не во всех вариантах может получиться табличный угол, поэтому далее действуем так: зная cosa ,находим

sina = = .

Tогда h =½½· sin a= 5. Зная высоту и длины оснований находим площадь: S=(AB +CD)· h = .

Ответ: ½½ = 10, ½½= 5, cos a = , S_ABCD= .

6. Дано ½½= 10, ½½ = 3, a=Ð(, )=30^o. Найти площадь треугольника, построенного на векторах = –3 и =2+5, отложенных из одной точки. Найти длину медианы, исходящей из этой же точки.

Решение. Площадь параллелограмма построенного на векторах и , численно равна модулю их векторного произведения. Площадь треугольника, построенного на этих векторах равна половине площади параллелограмма: S_Δ= ½´½. Пользуясь свойствами и определением векторного произведения находим

½´½=½(–3)´(2+5)½=½ ´ +5´–3´–15´½=

=½ + 5´+3´ +15½= 8½´½= 8½½·½½·sina =

= 8·10·3· =120 .

S_Δ= ½´½= 60.

Если AD – медиана DABC, то = ( +). В нашем случае, если

– вектор, задающий медиану, то = (+) = +.

Нам требуется найти длину этого вектора. Самое первое следствие из определения скалярного произведения: скалярный квадрат вектора ²=· равен квадрату его длины ½½². Имеем

½½²=· = ( +)·( +)= ²+ 3·+²=

= ½½²+ 3½½·½½· cosa +½½²=

= ·100 + 3·10·3· + 9 = 234+45.

Значит, ½½= .

Ответ: S_Δ= 60, длина медианы равна .

Подчеркнем, что ни в коем случае нельзя использовать обозначение ²вместо ´ ; ²означает · . Особо обращаем внимание, что при решении использовалось свойство ´=– ´ .

7. Докажите, что векторы (10,11,2) и (10,–10,5) отложенные из одной точки, можно взять в качестве ребер куба, и найдите третье ребро куба, исходящее из этой же точки.

Решение. Для того, чтобы векторы и могли служить ребрами куба, они должны быть друг другу перпендикулярны и иметь одинаковую длину. Проверяем:

· = 10·11 + 11·(–10) + 2·5 = 0 Þ ^ ,

| | = = 15,

| | = = 15.

Вектор , задающий третье ребро куба, должен быть перпендикулярен и и должен иметь одинаковую с ними длину.

Согласно определению векторного произведения вектор ´ будет перпендикулярен и . Выясним, какую он будет иметь длину:

½´½=½½·½½×sinÐ(,) = 15·15· sin90^o= 225.

Искомый вектор должен иметь длину 15. Следовательно, = ´. Находим

´ = = 75i –30j – 210k, (5, –2,–14).

Очевидно, что вектор = – тоже удовлетворяет условиям задачи.

Ответ:(5, –2,–14), (–5, 2,14).

8.Даны координаты вершин треугольной пирамиды SABC: A(4,0,1), B(5,–1,1), C(4,7,–5), S(7,5,2). Найти объем пирамиды, площадь основания ABC и высоту (с помощью векторного и смешанного произведений). Найти угол ÐBAC. Укажите, какой вектор перпендикулярен основанию. Изобразите данную пирамиду в декартовой системе координат.

Решение. Находим координаты трех векторов, лежащих на ребрах пирамиды и исходящих из одной вершины:

(1,–1,0), (0,7,–6), (3,5,1).

Модуль смешанного произведения этих векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем же пирамиды составляет 1/6 от объема параллелепипеда: V=½½.

Смешанное произведение можно вычислить так:

Но, поскольку для вычисления площади основания нам понадобится векторное произведение ´, то намного проще воспользоваться определением смешанного произведения: =(´)·. При этом, вероятность арифметической ошибки будет намного меньше. Рекомендуем для проверки правильности вычислений использовать оба способа.

´ = = i– j + k = 6i+6j+7k.

S_ΔABC= ½´½= = .

(´)· =6×3+6×5+7×1=55. V=½(´)·½= .

C другой стороны, V= S_ΔABC ·h. Отсюда h= = = 5.

Согласно определению векторного произведения вектор ´ перпендикулярен и . Поэтому вектор = ´ будет перпендикулярен основанию пирамиды; (6,6,7).Угол ÐBAC ищется так же, как и в задаче5.

Построим изображение данной пирамиды в декартовой системе координат Оxyz.

Ответ: V= , S_ΔABC= , h= 5, (6,6,7).

9. Вычислить площадь треугольника ABC, если вершина A находится в полюсе, а две другие имеют заданные полярные координаты: B(6,), C(4,). Найти длину BC. Изобразить данный треугольник.

Решение. Нарисуем чертеж к задаче, построив точки B и C по их полярным координатам. Из чертежа и геометрического смысла полярных координат находим, что