Взаимное расположение двух прямых на плоскости

В этом параграфе для удобства изложения будем считать, что совпадающие прямые – это частный случай параллельных.

Пусть две прямые на плоскости заданы общими уравнениями:

l1: A1x + B1y + C1 = 0 ,

l2: A2x + B2y + C2 = 0 .

Тогда мы сразу можем сделать вывод, что (A1, B1) и (A2, B2) – это векторы нормали к l1 и l2.

Теорема 2. 1. l1½½ l2 и l1¹ l2 Û = ¹ .

2.l1= l2 Û = = .

3. l1^ l2 Û A1A2 + B1B2 = 0.

4. угол между l1 и l2 вычисляется по формуле

cos a = = . (16)

Доказательство. 1, 2. Очевидно, что l1½½ l2 Û ½½ , а по второму признаку коллинеарности векторов это равносильно

= = l . (*)

При этом, прямые будут совпадать Û у них есть общая точка Mo(xo, yo), т. е. если одновременно выполняется

A1xo + B1yo + C1 = 0,

A2xo + B2yo + C2 = 0.

Вычтем из первого равенства второе, домноженное на l :

(A1– lA2)xo + (B1– lB2)yo + C1– lC2 = 0.

В силу (*) обе скобки равны нулю Þ C1– lC2 = 0 Û C1/C2 = l. (**) Объединяя (*) и (**), получаем требуемый результат.

Обратно, если выполнено условие пункта 2, то уравнения прямых l1 и l2 пропорциональны, т.е., разделив первое уравнение на некоторое число l, мы получим второе уравнение. Значит эти уравнения равносильны и определяют на плоскости одно и то же множество.

3, 4. Напомним, что углом между двумя прямыми называется меньший из двух углов, которые образуются при их пересечении. Таким образом, угол a между прямыми находится в пределах 0 £ a £ p/2.

Пусть b =Ð(, ). Тогда 0 £ b £ p.

Очевидно, что b совпадает с одним из двух углов, которые образуют прямые при пересечении.

1 случай: 0 £ b £ p/2. Тогда a = b Þ

cos a = cos b = .

2 случай: p/2 < b £ p. Тогда a = p – b и cos b < 0 Þ

cos a = cos (p – b) = – cos b =

=½ cos b½ = .

Эта формула подойдет и к первому

случаю: неотрицательную величину модулем не испортишь. Последнее равенство в (16) – эта та же формула, только расписанная в координатах. В частности, из (16) следует, что l1^ l2 Û · = 0 Û A1A2 + B1B2 = 0.

Упражнение 1. Прямые на плоскости могут быть заданы не только общим уравнением. После изучения темы «Взаимное расположение прямой и плоскости» вы легко напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, одна из которых задана каноническим или параметрическим уравнением, а вторая – общим уравнением.

Упражнение 2.Самостоятельно напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.

Теорема 2.Пусть две прямые на плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом

l1: y = k1x + q1, l2: y = k2 x + q2.

Тогда угол между ними вычисляется по формуле

tg q = .

Доказательство. Пусть k1= tg a1, k2 = tg a2 , а q1 и q2 – углы, которые образуются при пересечении прямых (см. чертеж). Тогда q1= b – a, и, если q1£ p/2, то он будет считаться углом между l1и l2. В этом случае tg q1³ 0.

Находим:

tg q1= tg(b – a) = = .

Если q1> p/2 , то между прямыми считается q2 = p – q1. Тогда

tg q2 = tg(p – q1) = – tg q1=½tg q1½ = .

Эта формула подойдет и к первому случаю.

Заметим, что если убрать в числителе модуль, то получится формула, по которой можно вычислить ориентированный угол от l1 до l2, (отсчитываемый против часовой стрелки). Данный угол может находиться в пределах – p £ q £ p.