Уравнение плоскости в пространстве
Плоскость p в пространстве можно задать
а) с помощью точки AoÎ p и ненулевого вектора ^p; тогда можем написать, что p ={M½ ^}; (*)
б) с помощью точки Ao Î l и двух неколлинеарных векторов и , параллельных p;
в) с помощью трех точек Ao, A1, A2Î p , не лежащих на одной прямой.
Теорема 4. 1.Плоскость p, проходящая через точку Ao(xo, yo, zo), перпендикулярно вектору (A, B, C), задается в декартовой СК уравнением
A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0. (21 )
2. Плоскость p, проходящая через точку Ao(xo, yo, zo), параллельно двум неколлинеарным векторам изадается уравнением
![]() |
(22)
3.Плоскость p, проходящая через три точки Ao(xo, yo, zo), A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), не лежащие на одной прямой задается уравнением
![]() |
4.Плоскость p, отсекающая на координатных осях ненулевые отрезки a, b, c задается уравнением
+ + = 1 (24)
(предполагается, что a, b, c могут быть отрицательными).
Доказательство. 1.Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда ^ Û · = 0. Поскольку (x – xo, y – yo, z – zo), то последнее равенство в координатах как раз имеет вид (22).
Обратно, если координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют (21), то ^ Û MÎp.
2. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда компланарен векторам и , а это равносильно тому, что смешанное произведение этих трех векторов равно нулю: = 0. В координатах последнее равенство как раз имеет вид (22).
Обратно, если координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют (22), то векторы , , компланарны, а значит MÎp.
3. Если плоскость проходит через три точки Ao(xo, yo, zo), A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), не лежащие на одной прямой, то векторы (x1– xo, y1– yo, z1– zo) и (x2 – xo, y2 – yo, z2 – zo) неколлинеарны друг другу и параллельны плоскости p. Подставим их координаты в (22) вместо координат векторов и , и получим (23).
4. Условие означает, что плоскость проходит через точки A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c). Подставим их координаты в уравнение (23):
x – a y –0 z –0
0 – a b –0 0 –0 = 0 .
0 – a 0 –0 c –0
Самостоятельно раскройте определитель и приведите получившееся уравнение к виду (24).
Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.
Следствие. Любая плоскость определяется уравнением вида
Ax + By + Cz + D = 0 , (25)
которое называется общим уравнением плоскости. И обратно, всякое уравнение вида (25) определяет плоскость.
Доказательство. Любая плоскость может быть задана с помощью точки и вектора нормали, а значит ее можно задать уравнением вида (21). Раскроем скобки и обозначим D = –Axo– Byo– Czo= const. Получим уравнение (25).
Обратно, пусть некоторое множество p определяется уравнением (25). Пусть Ao(xo, yo, zo) – произвольная точка этого множества. Тогда ее координаты удовлетворяют (25):
Axo+ Byo+ Czo+ D = 0.
Отсюда D = –Axo– Byo– Czo , и подставляя это значение в (25) получим (21). А это уравнение, как уже известно, задает плоскость.
Рассмотрим различные частные случаи плоскостей, задаваемых уравнениями вида (25).
1. D = 0. Тогда уравнению
Ax + By + Cz = 0
удовлетворяют координаты точки O(0, 0, 0).
Плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0.Имеем уравнение
Ax + By +D = 0.
Тогда вектор нормали к плоскости – (A, B, 0) и ^Oz, а значит, p½½ Oz.
Аналогично, при B= 0 получим p½½ Oy, а при A = 0 – p½½ Ox.
3.A = B = 0. Имеем уравнение
Cz + D = 0,
которое равносильно z = – C /D. Тогда
p^Oz.
Аналогично, при A = C = 0 будет
p ^Oy, а при B = C = 0 – p ^Ox.