ГЛАВА 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется множество точек g на плоскости, обладающее следующим свойством: существуют такие точки F1, F2, называемые фокусами, что сумма расстояний от произвольной точки M эллипса до F1 и от M до F2 есть величина постоянная:

½ MF1½ +½ MF2½ = 2a = const, (1)

т.е. независящая от выбора точки MÎg, и 2a < 2c =½ F1F2½ .

Составим уравнение эллипса в декартовых координатах. Начало координат поместим в середину отрезка F1F2, и направим Ox­­. Тогда ось Oy определится однозначно. Фокусы будут иметь координаты F1(c, 0), F2(– c, 0).

Пусть M(x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда

½ MF1½ = , ½ MF2½ = .

Согласно определению (1) имеем

= 2a – .

Возведем обе части равенства в квадрат и сократим одинаковые слагаемые:

x2 – 2xc + c2 + y2 = 4a2 – 4a + x2 + 2xc + c2 + y2 .

4xc = 4a2 – 4a Û a = a2 + xc.

Еще раз возводим в квадрат, сокращаем и группируем:

a2(x2 + 2xc + c2 + y2) = a4 + 2a2xc + x2c2,

x2(a2 – c2) + a2y2 = a2(a2 – c2).

Согласно определению a < c; поэтому можем обозначить b2 = a2 – c2 , и разделив на a2b2, окончательно получаем

+ = 1 . (2 )

Мы доказали, что координаты произвольной точки эллипса удовлетворяют уравнению (2). Необходимо еще доказать обратное: если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (2), то выполнено (1).

Из (2) выразим y2 = b2(1– ) и подставим в выражение для ½ MF1½, учитывая при этом обозначение b2 = a2 – c2:

½ MF1½ = = =

= =

= = =½ a – ½.

Аналогично получаем, что ½ MF2½ =½a + ½. Из (2) следует, что ½ x ½ £ a (иначе уже первое слагаемое будет больше 1), а по определению, a < c Þ оба выражения под модулем неотрицательны. Поэтому

½ MF1½ +½ MF2½ = a – + a + = 2a.

Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса.

Геометрические свойства эллипса.

1. Из (2) следует, что ½ x ½ £ a, ½ y ½ £ b. Значит, эллипс целиком содержится в прямоугольнике, определяемыми этим неравенствами.

Подчеркнем, что это и все другие свойства выводятся только из уравнения эллипса, без ссылки на наглядность чертежа. Поэтому и раздел геометрии, который мы сейчас изучаем, называется «Аналитическая геометрия».

2. Координатные оси пересекают эллипс в точках A1(a, 0), A2(– a, 0), B1(0, b), B2(0, – b), которые называются его вершинами. Отрезки A1A2 и B1B2 называются большим и малым диаметрами эллипса, а вместе – главными диаметрами. Числа a и b называются большой и малой полуосями.

3. Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – центром симметрии.

Действительно, пусть M(x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда

пара (x, y) удовлетворяет уравнению (2). Но тогда этому уравнению удовлетворяют также и пары (x, – y), (– x, y), (– x,– y), которые задают точки, симметричные M относительно Ox, Oy и точки O соответственно.

4. Эллипс может быть получен из окружности

g¢: X 2 + Y 2 = a2 (**)

в результате равномерного ее сжатия вдоль оси Oy с коэффициентом k = a/b. Действительно, при таком сжатии точка M ¢(X, Y)Î g¢ будет переходить в точку M(x, y), где

x = X , X = x ,

y = Y . Û Y = y .

Подставляя последние формулы в (**), получим, что координаты точки M удовлетворяют (2), т.е. MÎ g .

5. Эллипс может быть получен из окружности в результате проекции окружности на плоскость s непараллельную плоскости окружности . Действительно, при такой проекции отрезки параллельные линии пересечения плоскостей l = s I сохраняют длину, а отрезки перпендикулярные l сжимаются в 1/cos a раз, где a – угол между s и . Таким образом, окружность сжимается по одному направлению, и согласно свойству 4, из нее получается эллипс.

6.Самостоятельно убедитесь, что параметрические уравнения эллипса имеют вид:

x = a cos a ,

y = b sin a , t ÎR .

Гипербола.

Определение. Гиперболой называется множество точек g на плоскости, обладающее следующим свойством: существуют такие точки F1, F2, называемые фокусами, что модуль разности расстояний от произвольной точки M гиперболы до F1 и от M до F2 есть величина постоянная:

½ ½ MF1½ –½ MF2½½ = 2a = const, (3)

т.е. независящая от выбора точки MÎg, и 2a < 2c =½ F1F2½ .

Составим уравнение гиперболы в декартовых координатах. Начало координат поместим в середину отрезка F1F2, и направим Ox­­. Тогда ось Oy определится однозначно. Фокусы будут иметь координаты F1(c, 0), F2(– c, 0).

Пусть M(x, y) – произвольная точка гиперболы. Тогда

½ MF1½ = ,

½ MF2½ = .

Согласно определению (3) имеем

= ± 2a + .

Далее совершаем дословно такие же преобразования, что и для эллипса. В результате получим уравнение

x2(c2 – a2) – a2y2 = a2(c2 – a2).

Упражнение. Проделайте эти преобразования самостоятельно.

По определению a < c; поэтому можем обозначить b2 = c2 – a2, и разделив на a2b2 окончательно получаем

– = 1 . (4 )

Мы доказали, что координаты произвольной точки гиперболы удовлетворяют (4). Необходимо еще доказать обратное: если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (4), то выполнено (3). Из (4) выразим y2 = b2( –1) и подставим в выражение для ½ MF1½, учитывая при этом обозначение b2 = c2 – a2. Точно так же, как и для эллипса получим

½ MF1½ =½ a – ½, ½ MF2½ ==½ a + ½. (**)

Упражнение. Проделайте это самостоятельно.

Из (4) вытекает, что x2 = a2(1+ ) Þ ½ x ½ ³ a, и по определению c > a. Значит, второе слагаемое в формулах (**) по модулю больше первого и при x ³ a получаем

½ MF1½ = – a, ½ MF2½ = a + ,

а при x £– a получаем

½ MF1½ = a – , ½ MF2½ = – a – .

В обоих случаях выполняется (3).

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Геометрические свойства гиперболы.

1. Мы уже отмечали, что для любой точки M(x, y) на гиперболе

x2 = a2(1+ ) Þ ½ x ½ ³ a,

кроме того (4 ) Þ

x2 > Û ½ x ½>½ y ½.

Значит вся гипербола содержится в области, определяемой этими неравенствами. Она заштрихована на рисунке.

2.Ось Ox пересекает гиперболу в точках A1(a, 0), A2(– a, 0),которые называются вершинами гиперболы. Ось Oy ее не пересекает. Числа a и b называются полуосями гиперболы – действительной и мнимой.

3. Дословно так же, как и для эллипса доказывается, что координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – центром симметрии.

4.Прямые l1: y = x и l2: y = – x называются асимптотами гиперболы.

Гипербола неограниченно к ним приближается, но нигде не пересекает.

Действительно, пусть M(x, y) – точка на гиперболе, а M ¢(x, y ¢) – на соответствующей асимптоте. Тогда расстояние от точки M до асимптоты меньше, чем ½ MM ¢½. При этом

½ MM ¢½ =½ y ¢½ –½ y½ .

(y ¢)2= x2, y2 = b2( –1) (*** )

Из этих равенств вытекает, что при ½ x ½¾®¥ будет ½ y ¢½ ¾®¥ и ½ y½ ®¥ . Кроме этого,

(y ¢)2– y2 = b2 Û ½ y ¢½ –½ y½ = ¾®0 при ½ x ½¾®¥.

Заметим, что обе асимптоты вместе можно задать вместе одним уравнением – = 0 . Для его получения достаточно в правой части уравнения (4) заменить 1 на 0. Асимптоты проходят через диагонали прямоугольника, который определяется неравенствами ½ x ½ £ a, ½ y ½ £ b. Он называется фундаментальным прямоугольником гиперболы. Для построения гиперболы рекомендуется сначала изобразить этот прямоугольник.

5. При a = b гипербола называется равнобокой. Ее уравнение

x2– y2 = a2 , (5)

а асимптоты имеют уравнения l1: y = x , l2: y = – x . Очевидно, что l1 ^ l2 , и мы можем выбрать их за оси новой декартовой СК Ox ¢y ¢, которая получается из Oxy поворотом на угол – 45о. Тогда формулы замены координат имеют вид:

x = ( x ¢+ y ¢) ,

y = (– x ¢+ y ¢).

Подставим их в (5) и получим уравнение

2x ¢y ¢= a2 Û y ¢= ,

где k = a2/2. Таким образом, равнобокая гипербола задает график обратной пропорциональности.

6. Параметрические уравнения гиперболы имеют вид:

x = ± ach t , x = a(t + 1/t),

y = bsh t, t ÎR . y = b(t – 1/t), t ÎR\{0}.

Знак «+» соответствует одной ветви гиперболы, а «–» – другой ветви.

Упражнение. Проверьте это самостоятельно.

7. Гипербола

g¢: – = –1 ,

называется сопряженной к гиперболе g, заданной уравнением (4). Она имеет тот же фундаментальный прямоугольник, те же асимптоты, только расположена в другой паре вертикальных углов, образованных этими асимптотами.