Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой
Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
а11х2 + 2а12 ху + а22 у2 + 2а1х + 2а2у + с = 0, (8)
в котором хотя бы один из коэффициентов а11, а12, а22 отличен от нуля. Выражение
а11х2 + 2а12ху + а22 у2
называется квадратичной часть уравнения, 2а1х + 2а2у – линейной частью, а с – свободным членом.
Если мы перейдем к новой СК Ox¢y¢, то формулы замены координат будут иметь вид
x = ax¢ + by¢ + b1,
y = gx¢ + dy¢ + b2.
Если мы подставим эти выражения в (8), то снова получим уравнение такого же вида, т.е. содержащее x¢ и y¢ во второй степени. Поэтому наше определение корректно, т.е не зависит от выбора СК. В дальнейшем, СК всегда предполагается декартовой.
Определение. Точка O¢ называется центром кривой второго порядка, если она является ее центром симметрии. Кривая, которая имеет центр, называется центральной.
Предположим, что СК выбрана так, что ее начало находится в центре кривой. Тогда одновременно с точкой M(x, y) кривой будет принадлежать и точка M¢(– x,– y). Подставим ее координаты в (7) и получим
а11х2 + 2а12 ху + а22у2 – 2а1х – 2а2у + с = 0. (8¢)
Вычтем из равенства (8) равенство (8¢):
4(а1х + а2 у) = 0.
И это должно выполняться для любой точки M(x, y) на кривой. Поэтому а1 = а2 = 0, если начало координат находится в центре. Поэтому, если изначально начало координат не находится в центре O¢, то мы совершим параллельный перенос координатных осей в центр, и уравнение кривой в новой СК O¢х¢у¢ примет вид
а11х¢2 + 2а12 х¢у¢ + а22у¢2 + с¢ = 0, (9)
т.е. линейная часть уравнения исчезнет. При этом, коэффициенты квадратичной части останутся прежними; это будет установлено в процессе доказательства следующей теоремы.
Теорема 5. Координаты (xo, yo) центра кривой, заданной уравнением (8), находятся из системы линейных уравнений
а11хo + а12 уo + а1 = 0,
а12 хo + а22 уo + а2 = 0.
Доказательство. Введем новую декартову СК O¢х¢у¢, которая получается из Oху переносом начала в центр O¢(xo, yo) кривой. Тогда формулы замены координат имеют вид:
x = x¢ + хo,
y = y¢ + уo.
Подставим эти формулы в (7):
а11(x¢+ хo)2 + 2а12 (x¢+ хo)( y¢+ yo) + а22(y¢+ yo)2 +
+ 2а1(x¢+ хo) + 2а2(y¢+ yo) + с = 0.
После преобразований получаем
а11(x¢)2 + 2а12 x¢y¢+ а22(y¢)2 + 2(а11хo+ а12 уo+ а1)x¢+
+ 2(а12хo+ а22 уo+ а2)y¢+ с¢= 0,
где с¢ = j(xo, yo) – значение левой части уравнения (7) в точке O¢. Поскольку в новой СК коэффициенты при x¢ и y¢ должны быть равны нулю, то получаем (10).
Заметим, что уравнение кривой в новой СК можно выписать, не совершая подстановки (11) и преобразований: коэффициенты квадратичной части не изменяются, надо только вычислить с¢.
Обозначим A = – матрица квадратичной части уравнения (8) (она же является матрицей системы линейных уравнений (10)),
d = det A, dx = – , dy = – .
1 случай. d ¹ 0. Тогда по правилу Крамера система (10) имеет единственное решение
xo= dx/d, yo= dy /d, (*)
а кривая имеет единственный центр. Минусы были поставлены выше потому, что а1 и а2 находятся в (10) не в правой части, а в левой.
2 случай. d = 0, dx¹ 0 и dy¹ 0 (заметим, что в случае d = 0, определители dx и dy будут равны или неравны нулю только одновременно). Тогда ранг расширенной матрицы системы (10) будет равен 2, а rank A=1. Значит, согласно теореме Кронекера-Капелли система (10) не имеет решений, а кривая не имеет центра.
3 случай. d = 0, dx = dy = 0. Тогда оба уравнения в (10) пропорциональны, а значит, эта система имеет бесконечное количество решений, а кривая – бесконечное количество центров.
Упростим еще величину с¢:
с¢ = j(xo, yo) = а11хo2 + 2а12 х oуo + а22 уo2 + 2а1хo + 2а2 уo + с =
= (а11хo + а12 уo + а1) хo+ (а12 хo + а22 уo + а2)уo + а12 хo + а22 уo + с.
В силу (9) выражения в скобках равны нулю, и мы имеем
с¢ = а1 хo + а2 уo + с. (12)
Подставляя сюда (*) получаем
с¢ = а1 + а2 + с = (а1dx + а2 dy + с) = , (13)
где
а11 а12 а1
D = а12 а22 а2 .
а1 а2 с
В скобках как раз стоит разложение D по последней строке или последнему столбцу. Равенство (13) позволяет выписать (9) не находя координат центра кривой. Но, если уже центр найден, то легче вычислить с¢ по формулам (12).