Примеры применения теоремы Гаусса

 

1. Электростатическое поле бесконечной равномерно заряжен-ной плоскости.

 

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной

 

плотностью + (рис. 1.6.1). Из соображений симметрии следует, что

 

вектор E направлен перпендикулярно плоскости. Так как заряженная плоскость бесконечная, то числовое значение напряженности Е ее по-ля будет одинаковым во всех точках пространства, расположенных на одинаковых расстояниях слева и справа от плоскости. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндрическую поверхность, осно-вания которой параллельны плоскости, а ось перпендикулярна ей. То-гда в точках левого и правого оснований проекция En = E = const, а в

точках боковой поверхности Еn = 0, т. к. вектор E перпендикулярен

 

нормали n к боковой поверхности. Поток вектора E через замкнутую цилиндрическую поверхность будет равен:


 


En dSEn dSE n dS   En dSEn dSEn dS
S S1 S 2 S бок S1 S2
  EdS EdS 2 E dS 2 ES. (1.6.1)
  S S   S  

 

Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической по-верхности, равен: q = S. Согласно теореме Гаусса получаем:

 

    E n dS q   2ES   S   E   . (1.6.2)  
    0 0    
    S             2 0      
                  + > 0   E              
          E                      
              l         l           dS  
                          n            
                                       
n       dS       + + S       E     n  
                               
                + + + +                        
              + + + +     q = S            
E               + +             E  
S2                                   S1  
                                     
                                         
                            E              
                                     
          E                              

 

 

Рис. 1.6.1

 

Напряженность электростатического поля бесконечной равно-мерно заряженной плоскости определяется выражением

 

E   . (1.6.3)  
   
2 0  
       

Из формулы (1.6.3) следует, что напряженность не зависит от рас-стояния до плоскости, а следовательно, она одинакова по модулю во всех точках поля. Это означает, что поле равномерно заряженной плоскости однородно.

 

2. Электростатическое поле бесконечной равномерно заряжен-ной нити.

 

Найдем поле бесконечной равномерно заряженной нити с ли-нейной плотностью заряда (рис. 1.6.2). Из соображений симмет-рии следует, что вектор напряженности E электрического поля на-


 


правлен радиально, т. е. перпендикулярно к оси заряженной нити. Причем во всех точках, равноудаленных от оси нити, численные значения напряженности Е поля одинаковы. Поэтому в качестве замкнутой выберем цилиндрическую поверхность, основания кото-рой перпендикулярны нити, а ось совпадет с ней. Тогда во всех точ-ках верхнего и нижнего оснований проекция вектора напряженно-сти на нормаль Еn = 0, а в точках на боковой поверхности En = E =

 

= const, т. к. вектор E совпадает с нормалью n к боковой поверхно-

 

сти. Поток вектора E через замкнутую цилиндрическую поверх-ность будет равен:

 

En dSEn dS   En dSEndS    
S S1 S бок S2    
En dS E dS ESбок E 2 rl. (1.6.4)  
S бок Sбок        
  n   > 0    
        S    
      r      
  l   dS    
    n    

 

 

n

 

Рис. 1.6.2

 

Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической по-верхности, равен: q = l. Согласно теореме Гаусса получаем:

 

EndS q   E 2 rl lE   . (1.6.5)  
0 0 2 0r  
S            

То есть получаем, что напряженность электрического поля, созда-ваемого бесконечной равномерно заряженной нитью, равна:


 


E   . (1.6.6)  
   
2 0r  
       

3. Электростатическое поле равномерно заряженной сферы.

 

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заря-жена равномерно с поверхностной плотностью + . Благодаря рав-номерному распределению заряда по поверхности поле, создавае-мое им, обладает сферической симметрией. Линии напряженности будут направлены радиально. Поэтому выберем замкнутую по-верхность в виде сферы S радиуса r, имеющей общий центр с заря-

 

женной сферой. В этом случае вектор E , направленный по радиаль-ным линиям, в любой точке выбранной сферической поверхности будет перпендикулярным поверхности и одинаковым по модулю:

En = E = const (рис. 1.6.3).

 

 

  E  
  S1  
Sсф q > 0  
S2  
   
dS r  
n    
   

 

Сфера радиуса R

 

Рис. 1.6.3

 

1) рассмотрим поле вне сферы (r > R). Внутрь выбранной поверх-ности S1 попадает весь заряд q сферы:

 

    q Sсф4 R2 .           (1.6.7)  
Применим теорему Гаусса:                
E dS q E 4 r2 q   E   q . (1.6.8)  
0 0    
S       4 0 r    
                     

 

С учетом формулы (2.16) получаем:

 

E R2 ; (1.6.9)  
0r2  
       

 


2) рассмотрим поле внутри сферы (r < R). Замкнутая сферическая поверхность S2 не содержит внутри зарядов, поэтому

 

E n dS 0 EdS 0 E dS 0E 0. (1.6.10)
S 2 S 2 S2

То есть внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е = 0).

 

E

 

 

E 1 r2

 

 

0 E = 0

 

R r

 

Рис. 1.6.4

 

Графическая зависимость напряженности Е электростатического поля равномерно заряженной сферы от расстояния r представлена на рис. 1.6.4.