Электрический диполь. Электрический момент диполя. Напряженность и потенциал поля диполя

 

Диполем называется совокупность двух равных зарядов противо-положного знака, находящихся на расстоянии, малом по сравнению с расстоянием до точек, в которых рассматривается его электрическое поле. Линия, проходящая через заряды, называется осью диполя. Век-

 

тор l, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к поло-

 

жительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя (рис. 2.1.1).Вектор,совпадающий по направлению с плечомдиполя и равный произведению модуля заряда на плечо диполя, назы-

вается электрическим моментом диполя:

 

  (2.1.1)  
pе ql .  

 

l

–q pe


 

+q Ось диполя


 

 

Рис. 2.1.1

 

Вычислим сначала потенциал, а затем напряженность поля ди-поля. Это поле обладает осевой симметрией. Поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, будет одной и той

 

же, причем вектор E лежит в этой плоскости. Положение точки от-носительно диполя будем характеризовать с помощью радиуса-вектора r либо с помощью полярных координат r и (рис. 2.1.2).


 


Расстояния от зарядов +q и –q до данной точки А обозначим соответственно через r+ и r–.

                          E Er              
            E     e   А er                
                                         
                                               
        r         r       r                    
                                               
M       O           N                
−q l/2     l l/2   +q                
                     
                         
        Рис. 2.1.2                      
Потенциал в точке А равен:                                          
    1 q q       q   r r      
                                             
                                    . (2.1.2)  
      r       r     r r  
                               
                                     

Так как r >> l ( согласно определению электрического диполя), то можно считать, что r+r– r2, тогда

  q   r r      
            . (2.1.3)  
4 0   r  
             

 

Используя теорему косинусов, запишем для треугольников МАО и NAO (рис. 4.2) выражения

r 2 r 2       l 2r l cos 180r 2   l rl cos ;(2.1.4)  
                   
                                   
                                     
  r 2 r 2   l 2r l cos r 2   l rl cos . (2.1.5)  
                   
                               
                                   
                                                   

Вычтем из выражения (2.1.4) выражение (2.1.5) и с учетом того, что r– + r+ 2r, получим:

 

r 2 r 2 2rl cos r r r r   2rl cos  
                   
    r r 2r 2rl cos   r r l cos . (2.1.6)
                       


Подставим результат выражения (2.1.6) в выражение (2.1.3):

 

  q   l cos     p    
                  e cos . (2.1.7)  
4 0 r 4 0   r  
                   

Из формулы (2.1.7) следует, что поле диполя определяется его электрическим моментом рe.

 

Вычислим напряженность поля диполя, используя соотноше-ние (1.11.2). Для этого воспользуемся выражением градиента в по-лярной системе координат:

        1         1      
E grad     e   e     e   e E e E e , (2.1.8)  
  r r   r     r r   r   r r    
                         

где er , e – орты полярной системы координат.

 

Er         pe                 2 pe     (2.1.9)  
            cos         cos ;  
                               
    r   r 40 r 2           4 0 r3    
E   1   1       pe cos         pe sin .    
                                (2.1.10)  
    r     r   4 0   r 2     4 0 r3  
                     
Так как составляющие E   и E   взаимно перпендикулярны, то мо-  
              r                                            

дуль напряженности Е поля диполя находим следующим образом:

            pe         pe    
E E 2 E2       4cos2 sin2   1 3cos2 . (2.1.11)  
  r 3     r3  
  r                
                             

Рассмотрим некоторые частные случаи:

 

1. Напряженность и потенциал электростатического поля в точке, лежащей на оси диполя (рис. 2.1.3).

 

    l/2   l/2         E  
           
       
    O           A  
             
               
                 
–q   pe+q r      
                   
                   
        Рис. 2.1.3    

В этом случае = 0. Из формул (2.1.7) и (2.1.11) следует, что

 

E 2 pe и   pe . (2.1.12)  
4 0      
  r3   4 0 r2    

 


В этом случае напряженность и потенциал поля будут макси-мальными для выбранного расстояния r.

 

2. Напряженность поля в точке, лежащей на серединном перпен-дикуляре к оси диполя (рис. 2.1.4).

 

  E      
E   А    
       
r– E   r+  
  r  
       
–q O   +q  
     

l

 

Рис. 2.1.4

 

В этом случае = 90°. Из формул (2.1.7) и (2.1.11) следует, что

E   pe и = 0. (2.1.13)  
4 0  
    r      

В этом случае напряженность поля будет минимальной для вы-бранного расстояния r.

 

На рис. 2.1.5 показаны силовые линии (пунктирные линии) и эк-випотенциальные поверхности (сплошные линии) поля диполя.

 

 

Рис. 2.1.5

 

Согласно выражению (2.1.13), при угле = 90° потенциал обра-щается в нуль для всех точек. Таким образом, все точки плоскости,


 


перпендикулярной оси диполя и проходящей через его середину, имеют нулевой потенциал.