Лінійне та нелінійне програмування

До задач лінійного програмування зводиться широке коло задач управління функціонуванням економічних систем.

Задачі лінійного програмування тісно пов’язані з задачами теорії ігор, тому щодо їхнього розв’язування можна застосовувати числові методи теорії ігор.

Важливими для економічного аналізу є положення теорії двоїстості у лінійному програмуванні, яка вивчає загальні властивості пари тісно пов’язаних між собою двоїстих задач лінійного програмування. Пара двоїстих задач лінійного програмування в інтерпретації найпоширенішої задачі виробничого планування виглядає так.

Головним досягненням математичного аналізу задач лінійного програмування є формулювання загальної ознаки оптимальності допустимого розв’язку задачі без необхідності порівняння цього розв’язку з усіма іншими допустимими розв’язками цієї задачі.

Лінійне програмування знаходить своє застосування у різних сучасних і класичних областях математики: теорії графів, комбінаториці, теорії наближення функцій, теорії лінійних нерівностей та інших.

Важливим розділом математичного програмування є нелінійнепрограмування. Цей розділ математичного програмування вивчає методи відшукання розв’язків багатовимірних екстремальних задач з обмеженнями, причому функціональні залежності у цих задачах не вважають лінійними. Суть загальної задачі нелінійного програмування полягає у визначенні n-вимірного вектора x=(x₁, x₂, …, x_n) з заданими функціями f(x), g₁(x), g₂(x), …, g_m(x), який надавав би функції f(x) глобального екстремуму і задовольняв би умови:

g _i(x) 0, i=1, 2, …, m; x_j 0, j=1, 2, …, n,

які означають множину M допустимих значень вектора X.

Нелінійне програмування охоплює дуже широке коло задач математичного програмування. Важливим для пошуку розв’язання задачі нелінійного програмування є метод множників Лагранжа, який передбачає побудову функції Лагранжа:

F(x, )=f(x)+ ,

де число – множники Лагранжа.