Наиболее часто используется сокращенный способ расчета дисперсии
(метод моментов), в соответствии с которым дисперсия σ 2 есть разница
Между средним из квадратов значений признака x2 и квадратом их
средней (x)2 :
σ2 =x2 −(x)2,
Где
N
x
x i Σ =
Для несгруппированных данных;
Σ
Σ ⋅
=
i
I i
n
X n
x
Для сгруппированных данных.
Этот способ позволяет вести расчет дисперсии по исходным
Данным без предварительного расчета отклонений.
Дисперсия как базовый показатель вариации обладает рядом
вычислительных свойств, позволяющих упростить её расчет. К ним
относятся:
• дисперсия постоянной величины равна 0;
• дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или
Уменьшить на одно и то же число А;
• если все варианты умножить (разделить) на число А, то
Дисперсия увеличится (уменьшится) в A2 раз.
Формат: Список
Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности
Исследуемого признака, поэтому данный показатель не имеет
Экономической интерпретации. Для сохранения экономического смысла
рассчитывается ещё один показатель вариации – среднее квадратическое
Отклонение.
Среднее квадратическое отклонение представляет собой среднюю
Квадратическую из отклонений отдельных значений признака от их
средней арифметической:
Для несгруппированных да
для сгруппированных данных σ =
Σ
Σ
=
=
− ⋅
m
i
i
m
i
I i
n
X x n
( )2
.
Среднее квадратическое отклонение является именованной
Величиной, имеет размерность усредняемого признака, экономически
Хорошо интерпретируется. Она также используется для оценки
надежности средней: чем меньше cреднее квадратическое отклонение σ ,
Тем надежнее cреднее значение признака x , тем лучше средняя
Представляет исследуемую совокупность.
Для распределений, близких к нормальным между средним
Квадратическим отклонением и средним линейным отклонением
существует следующая зависимость:
σ ≈ 1 , 25 ⋅ d .
• Относительные показатели вариации предназначены для
Оценки и сравнения вариации нескольких признаков по одной
Совокупности или же вариации одного и того же признака по нескольким
Совокупностям. Базой для их исчисления является средняя
Арифметическая.
Самым распространенным относительным показателем
вариации является коэффициент вариации δ V . Он представляет собой
Отношение среднего квадратического отклонения к средней
арифметической, выраженное в процентах:
= ⋅100%
x
V
σ
σ .
Коэффициент _______вариации используется для характеристики
Однородности исследуемой совокупности. Статистическая совокупность
Считается количественно однородной, если коэффициент вариации не
превышает 33% .
Расчет показателей вариации рассмотрим на примере ряда
Распределения рабочих участка по стажу работы. Для этого составим
вспомогательную таблицу:
Таблица 5.4.
Расчет показателей вариации для распределения рабочих по стажу
Работы
Стаж работы, лет Расчет
Среднего
Линейного
Отклонения
Расчет
Дисперсии
№
Группы
н
I x в
I x i b
ni i i n ⋅ x
x x i − i i x − x ⋅ n 2
i x i i x2 ⋅ n
1 0 4 2 6 12 10 60 4 24
2 4 8 6 8 48 6 48 36 288
3 8 12 10 11 110 2 22 100 1100
4 12 16 14 13 182 2 26 196 2548
5 16 20 18 6 108 6 36 324 1944
6 20 24 22 4 88 10 40 484 1936
7 24 28 26 2 52 14 28 676 1352
Итого 0 28 14 50 600 - 260 - 9192
• Определение среднего стажа работы:
= 600 =
⋅
= Σ
Σ
i
I i
n
X n
X лет.
Таким образом, наиболее типичным для рабочих участка является
Стаж работы, равный 12 годам.
• Определение размаха:
R=28-0=28 лет.
Размах показывает общий диапазон изменения стажа, он составляет
Лет.
• Среднее линейное отклонение составляет
5,2
= 260 =
− ⋅
= Σ
Σ
i
I i
n
X x n
D года.
• Дисперсия для данного ряда составляет
12 183,84 144 39,84
( ) 9192 2
2 2
2 2 2 = − = − = ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛ ⋅
−
⋅
= − = Σ
Σ
Σ
Σ
i
I i
i
i
n
X n
n
X n
σ x x лет2 .
Показатель с такой размерностью невозможно интерпретировать, поэтому
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение
• Среднее квадратическое отклонение составляет σ = 39,84 = 6,3
Года.
Проверим _______соотношение между средним линейным отклонением и
средним квадратическим отклонением: σ ≈ 1,25 ⋅ d ≈ 6,5 . Можно сделать
Вывод, что распределение рабочих по стажу близко к нормальному.
• Коэффициент вариации составляет 100% 53%
= 6,3 ⋅ ≈ δ V , что
Свидетельствует о высокой колеблемости признака в совокупности.
Правило сложения дисперсий
Если изучаемая совокупность состоит из нескольких частей, то