Коэффициент асимметрии Пирсона характеризует асимметрию
Только в центральной части распределения, поэтому более
Распространенным и более точным является коэффициент асимметрии,
рассчитанный на основе центрального момента 3-его порядка:
σ
μ
As = ,
Где 3
μ - центральный момент третьего порядка;
σ 3 - среднее квадратическое отклонение в третьей степени.
Центральным моментом в статистике называется среднее
Отклонение индивидуальных значений признака от его
Среднеарифметической величины.
Центральный момент k-ого порядка рассчитывается как:
N k
i
i
K n
(x x)
−
=
Σ=
μ - для несгруппированных данных;
k μ
=
Σ
Σ
=
−
=
m
i
m
i
k
i
I n
X x
( )
Для сгруппированных данных.
Соответственно формулы для определения центрального момента
третьего порядка имеют следующий вид:
n
x x i Σ −
=
( )
μ - для несгруппированных данных;
Σ
Σ − ⋅
=
i
I i
n
X x 3 n
( )
μ - для сгруппированных данных.
Для оценки существенности рассчитанного вторым способом
Коэффициента асимметрии определяется его средняя квадратическая
ошибка:
( 1) ( 3)
6 ( 1)
+ ⋅ +
⋅ −
=
N N
N
As σ .
Если
AS
AS
σ
>3, асимметрия является существенной.
Для одновершинных распределений рассчитывается еще один
показатель оценки его формы –эксцесс. Эксцесс является показателем
Островершинности распределения. Он рассчитывается для симметричных
Распределений на основе центрального момента 4-ого порядка 4
μ :
3 4
= 4 −
σ
μ
Ex ,
Где 4
μ - центральный момент 4-го порядка.
N
X x
N
i
i Σ=
−
= 1
( )
μ - для несгруппированных данных;
4 μ
=
Σ
Σ
=
=
− ⋅
m
i
i
m
i
I i
n
X x n
( )4
- для сгруппированных данных.
При симметричных распределениях Ех=0. если Ех>0, то
распределение относится к островершинным, если Ех<0 – к
Плосковершинным.
Рассчитаем показатели асимметрии и эксцесса для ряда
Распределения рабочих по стажу работы. Ранее для данного ряда были
получены следующие характеристики:
x = 12 лет, Мо=12,9 лет, δ =6,3 года.
Коэффициент асимметрии Пирсона получается равным:
0,14
6,3
12 12,9 ≈ −
−
=
−
=
σ
As x Mo <0, что говорит о наличии незначительной
Левосторонней асимметрии в центральной части распределения.
Коэффициент асимметрии, рассчитанный через центральный
момент 3-его порядка:
Σ
Σ − ⋅
= =
i
I i
n
X x n
As
3 ( )
σ
μ := 0,24
61,44
6,3
61,44
Gt;0.
Это означает, что в целом по всему ряду наблюдается
Правосторонняя асимметрия.
Расчет центрального момента 3- его порядка 3
μ приведен во
Вспомогательной таблице 5.6.
Таблица 5.6.
Расчет центральных моментов 3- его и 4-ого порядка
№ i x i n x x i − (x x)3 i − i i (x − x)3 ⋅ n (x x)4 i − i i (x − x)4 ⋅ n
1 2 6 -10 -1000 -6000 10000 60000
2 6 8 -6 -216 -1728 1296 10368
3 10 11 -2 -8 -88 16 176
4 14 13 2 8 104 16 208
5 18 6 6 216 1296 1296 7776
6 22 4 10 1000 4000 10000 40000
7 26 2 14 2744 5488 38416 76832
Итого 14 50 - - 3072 - 195360
Показатель эксцесса:
3 2,5 3 0,5
1575,3
6,3 3 3907,2
3 195360 4
4 4
= − = ÷ − = − = − = −
δ
μ Ex , что
Свидетельствует о том, что распределение плосковершинное.
Теоретические распределения в анализе вариационных
Рядов
Эмпирические кривые распределения, построенные на основе, как
Правило, небольшого числа наблюдений очень трудно описать
Аналитически, поэтому для выявления статистических закономерностей,
Сравнения и обобщения различных совокупностей аналогичных данных
Используются теоретические распределения.
Теоретические распределения – это хорошо изученные в теории
Распределения, представляющие собой зависимости между плотностями
Распределения и значениями признака, отражающие закономерности
Распределения. Они описываются статистическими функциями, параметры
Которых вычисляются по статистическим характеристикам изучаемой
Совокупности.
Исследование формы распределения предполагает замену
Эмпирического распределения известным теоретическим, близким ему по
форме. При этом необходимо соблюдать условие: различия между
Эмпирическим и теоретическим распределениями должны быть
Минимальными. Это означает, что сумма частот эмпирического
Распределения должна соответствовать сумме частот
теоретического распределения, т.е. Σ Σ
= =
≈
m
i
i
m
i
I T
N n
1 1
, где iT n - частота
Теоретического распределения.
Теоретическое распределение в этом случае является некоторой
Идеализированной моделью эмпирического распределения, и анализ
Вариационного ряда сводится к сопоставлению эмпирического и
Теоретического распределений и определению различий между ними.