Побудова повного факторного експерименту

Матриця планування експерименту

№ Х1 Х2 у   № Х1 Х2 у
X1min X2min y1   – – y1
X1max X2min y2   + – y2
X1min X2max y3   – + y3
X1max X2max y4   + + y4

; .

; .

Геометрична інтерпретація

Експеримент, у якому реалізуються всі можливі комбінації рівнів факторів, називається повним факторним експериментом.

6. Властивості повного факторного експерименту

§ Властивість симетричності відносно центру експерименту

– алгебраїчна сума елементів кожного стовпця рівна нулю,

де: j – номер досліду; і – номер фактора; N – кількість дослідів

або незалежність вільного члена, тобто точки, у яких проводяться досліди, розташовані симетрично до центру плану.

Властивість нормування забезпечує однакову дисперсію оцінки коефіцієнтів.

Властивість ортогональності

, де i, l – номера факторів, зокрема i ¹ l

дозволяє оцінити усі коефіцієнти рівняння регресії незалежно один від одного.

Властивість рототабельності: точки у матриці планування експери­менту підбирають таким чином, щоб отримана математична модель могла описати значення функції відгуку з однаковою точністю у будь-яких напрямах на рівних відстанях від центру експерименту.

 

 

7. Проведення експериментальних досліджень

Після вибору плану експериментальних досліджень, основних рівнів та інтервалів варювання переходять до проведення експерименту.

Кожна стрічка матриці планування – це є умови досліду.

Для виключення систематичних похибок рекомендуються досліди, які зумовлені матрицею, проводити згідно розподілу випадкових чисел.

Для компенсації впливу випадкових похибок кожний дослід рекомендується повторювати n раз.

Досліди, які повторюються декілька раз для одних і тих же зачень факторів, називаються паралельними.

Під дублювання дослідів будемо розуміти постановку паралельних дослідів.

Як правило, n=2¸3, а може 4¸5.

Можливі три варіанти проведення експерименту:

§ експеримент проводиться з рівномірним дублюванням дослідів;

§ експеримент проводиться з нерівномірним дублюванням дослідів;

§ експеримент проводиться без дублювання дослідів.

У процесі рівномірного дублювання дослідів усі стрічки матриці планування мають однакове число паралельних дослідів. У випадку нерівномірного планування число паралельних дослідів є неоднаковим. Найкращий є перший варіант.

Число степеней вільності

, де: N – число дослідів, k – число факторів.

, m=2 (кількість рівнів)

8. Алгоритм розрахунку повного факторного експерименту для випадку рівномірного числа паралельних дослідів

1) Для кожної стрічки матриці планування за формулою

,

де n – кількість паралельних дослідів, u – номер паралельного досліду, розраховують середнє арифметичне значення параметра оптимізації

2) З метою оцінки відхилення функції відгуку від його середнього значення за формулою

визначають дисперсію кожної стрічки матриці планування.

3) Перевіряють однорідність дисперсій за формулою ,

де: GT – теоретичний критерій Кохрена, визначається з додатків; m=N; f=N(n-1);

GP – розрахунковий критерій Кохрена, який визначається за формулою

Гіпотеза приймається, якщо розрахунковий критерій Кохрена менший від теоретичного.

4) Визначають значення коефіцієнтів регресії за формулами

, , , ,

де і, k, u – номера факторів, xij, xkj, xuj – кодовані значення факторів в j-му досліді.

5) Перевіряють статичну значимість коефіцієнтів моделі за допомогою критерію Стьюдента t за формулою , де:

tT – теоретичний критерій Стьюдента, який визначається з додатків, f=N(n-1);

tp – критерій Стьюдента, розрахований за формулою ,

m – індекс коефіцієнта.

6) Обчислюють теоретичні значення функції ŷj за формулою

, відкинувши коефіцієнти, менші за tT.

7) Визначають адекватність отриманої регресивної моделі за критерієм Фішера , де: FT – теоретичне значення, яке вибирається з додатків, f1=N(n-1), f2=N–P; а Fp – за формулою

,

де Р – число значущих коефіцієнтів математичної моделі.

Модель вважається адекватною, якщо розрахований критерій Фішера менший від теоретичного.

8) На основі отриманих коефіцієнтів будується регресійна модель у натуральних координатах.


Лекція 2

Методи статистичної оптимізації об’єктів керування

Розв’язок задачі оптимізації здійснюється в два етапи:

- пошуки в області екстремуму;

- уточнення екстремальної точки за допомогою додаткових пошукових дослідів або за допомогою математичної моделі.

Методи поділяються на класичні і факторні.

1. Класичні методи визначення екстремуму

За класичними методами пошукові досліди ставляться шляхом почергового варіювання незалежних змінних. На цей час всі інші фактори фіксуються.

Метод Гауса-Зейделя

Якщо , то рухаємося в напрямі К0 – К2

Закінчення процедури, якщо для будь-яких трьох точок Хm-1, Xm, Xm+1 виконується

Y(Xm-1,1)<Y(Xm,1)<Y(Xm+1,1) ® Km відповідає локальному екстремуму. У нашому випадку – це точка К3

На другому етапі за базову точку вибирається точка екстремуму, наприклад К3, і процедура продовжується

Перевага: простота, наглядність;

Недоліки: трудність стабілізації керованих факторів, що зумовлює додаткові похибки у знаходженні часткових екстремумів.

Градієнтний метод

Ряд Тейлора в околі точки х0

Суть методу полягає в тому, що на кожному етапі руху до екстремуму біля вибраної базової точки здійснюють пробні досліди, які дозволяють вибрати напрям градієнта і вибирається робочий крок λ. Такий рух дозволяє вибрати нову точку, яка наближує нас до екстремуму.

Наступна точка вибирається з умови:

Напрям градієнта К0К5 будується так, щоб для вибраного λ

; .

Для цього отримують λА1 і λА2. Отримані значення відкладаються від базової точки К0 вздовж осей х1 і х2. Таким чином, отримують координати нової точки К5 і повторюють алгоритм.

Алгоритм продовжується до тих пір, поки усі величини Аj будуть нескінченно малі.

Існують різні модифікації градієнтних методів, які відрізняються правилом вибору кроку λ.

Приклад. Знайти максимум функції .

Знаходимо

Вибираємо початкову точку

та знаходимо значення функції в цій точці

Нехай λ=0,1=const. Тоді

.

Знаходимо наступну точку за формулою :

; та знаходимо значення функції в цій точці

На другій ітерації отримуємо

;

Знаходимо .

 

Модифікований градієнтний метод

Знайти екстремум (максимум) функції

Вибираємо початкову точку

та знаходимо значення функції в цій точці

Знаходимо наступну точку

Складаємо вираз для приросту цільової функції на першому кроці

Знайдемо λ, для якого цей приріст є максимальний

Тоді

Значення функції

На другому кроці

Значення функції

2. Факторні методи визначення екстремуму

Ідея методу – пробні досліди ставляться у відповідності з ПФЕ.

Метод Бокса-Уілсона (Метод крутого сходження)

В околі точки Ко ставимо ПФЕ. Нехай отримано

aj – пропорційні проекціям вектора-градієнта на осі фактори

1) для знаходження координат точки Кі у напрямі екстремуму необхідно визначити взаємозв’язок між кроком зміни j-тої незалежної величини у нормальній і кодованій системі координат

2) вибираємо найбільш суттєвий фактор, напр. К за абсолютною величиною фактора

3) з фізичних величин вибираємо крок зміни у звичайному масштабі

4) встановлюємо зв’язок між і (нормованій системі)

Використаємо

,

xk – кодована система; Xk – звичайна система

Нехай К5 точка екстремуму, тоді

Тоді у кодованій системі координат

( * )

Але для кодованого значення К-го фактора точки К5 можна записати

Оскільки точка К0 лежить у центрі плану, то , маємо

( ** )

Зпівставивши (*) і (**), отримаємо

5) Значення у натуральній системі

6) Використовуючи співвідношення

знаходимо координати точок, які лежать у напрямі градієнта.

Признаком досягнення екстремуму є не значимість коефіцієнтів і різке зростання коефіцієнтів при парних взаємодіях факторів.

 

Приклад:

Знайти екстремальну область, якщо

  X1 X2 Y
– –
+ –
– +
+ +

 

Визначаємо координати базової точки та інтервали зміни факторів

;

;

;

В околі базової точки ( ) у відповідності ПФЕ провели експеримент

Знаходимо а0=88,0; а1= - 2,0; а2= - 4,5 та отримаємо

.

Найбільш суттєвий фактор х2, бо .

Вибираємо крок зміни фактора х2 :

Визначаємо крок зміни факторів у кодованій системі координат

Знаходимо крок зміни фактора х1

Отже

Знаходимо .

Нова базова точка і цикл повторюємо.

Признаком досягнення екстремуму є не значимість лінійних коефіцієнтів математичної моделі на одному з етапів і різке зростання коефіцієнтів при парних взаємодіях факторів.

 


ЛЕКЦІЯ 3

оптимізація технологічних процесів деревообробки з застосуванням методів лінійного програмування

Задачі лінійного програмування (ЗЛП) складають великий клас дослідження операцій. До них зокрема відносяться:

· оптимальне завантаження станків;

· формування виробничої програми деревообробних підприємств;

· планування розкрою листових і круглих деревинних матеріалів та ряд інших задач.

Особливість структури ЗЛП полягає в тому, що критерій оптимальності залежить від елементів розв’язку, а умова функціонування об’єкту записується у вигляді лінійних рівнянь або нерівностей.