Особливості та правила вибору критеріїв оптимізації
Тема: Вибір критеріїв оптимізації
1. Особливості та правила вибору критеріїв оптимізації
Особливості та правила вибору критеріїв оптимізації
Вибір критеріїв оптимізації є одним з головних етапів роботи на стадії попереднього вивчення об'єкту досліджень, оскільки правильна постановка завдання залежить від правильності вибору критерію оптимізації, що є функцією цілі. Недооцінка цього етапу досліджень інколи назводить до помилок при постановці завдання, які зводять нанівець всю подальшу роботу по пошуку оптимальних рішень.
У загальному вигляді про критерій оптимізації (параметри оптимізації) говорять як про кількісну характеристику цілі.
З позицій математичної постановки завдання при виборі критерію оптимізації необхідно враховувати, що його функції повинен виконувати єдиний показник, оскільки лише тоді має сенс завдання пошуку екстремального значення функції мети. На жаль, на практиці дуже рідко зустрічаються ситуації, коли одного показника вистачає для повної оцінки якості об'єкту досліджень. Тому в більшості випадків доводиться мати справу із завданнями, для яких характерне вживання декількох критеріїв оптимізації.
Розглянемо особливості вибору одиничного критерію.
Критерій оптимізації рекомендується вибирати з врахуванням комплексу вимог, в результаті ретельного, об'єктивного і неупередженого аналізу особливостей об'єкту досліджень і цілей роботи.
Критерій оптимізації повинен:
- бути ефективним;
- однозначно і з достатньою повнотою кількісно характеризувати якість об'єкту досліджень, аби його можна було оцінювати з максимальною статистичною ефективністю, просто і зручно;
- мати фізичний сенс;
- бути зрозумілий дослідникові.
При виборі критерію оптимізації можливі різні ситуації:
- критерій відомий заздалегідь;
- він невідомий взагалі;
- відомий, але з недостатньою точністю.
Постановка завдання спрощується, якщо критерій оптимізації очевидний (відомі його визначення і екстремальне значення). В цьому випадку на стадії попереднього вивчення об'єкту дослідження потрібно оцінити відповідність відомого критерію перерахованим вище вимогам і в першу чергу встановити можливості його кількісної оцінки з достатньою статистичною ефективністю. У останніх випадках вирішується завдання по вибору критерію.
Якщо не удається знайти кількісної оцінки якості функції мети, а таке на практиці не виключено, дослідникові не слід відразу зневірятися. Часто завдання оптимізації все ж можна поставити і вирішити, якщо при порівнянні різних станів об'єкту досліджень є можливість зрозуміти, що одні з них «гірші» або «кращі» за інших. У подібних випадках добрі результати дає експеримент, що виконується використанням симплекс-планерування або неповноблочних планів.
Якщо при виборі критерію оптимізації виникають труднощі із-за складності його кількісної оцінки, то інколи вихід з положення удається знайти за допомогою суб'єктивних рангових оцінок функції мети, які відповідні по сенсу, наприклад, різним сортам матеріалу, хоча такі оцінки, звичайно, є зазвичай менш переважними в порівнянні з кількісними критеріями, що мають фізичний сенс.
Вимога, пов'язана з необхідністю застосовувати критерії з певним фізичним сенсом, визначається не лише прагненням до точніших оцінок якості функції мети. Використання таких критеріїв полегшує інтерпретацію отриманих в результаті експерименту результатів досліджень. Вимога однозначності критерію зв'язана з врахуванням методологічних концепцій планування експерименту: певному набору значень чинників повинне відповідати лише одне значення критерію оптимізації. Зворотна вимога не є обов'язковою, оскільки часто одному значенню критерію відповідають багато наборів різних поєднань чинників. Нарешті, вимога статистичної ефективності критерію оптимізації заставляє звертати особливу увагу на точність його оцінок, воно обов'язково повинне враховуватися при виборі числа паралельних дослідів (спостережень). Існує думка, що не завжди доцільно використовувати критерій оптимізації, величина якого виражається у відсотках (від 0 до 100%), оскільки цей критерій інколи недостатньо статистично ефективний. Доречніше застосовувати параметри, виражені у відносних одиницях. При виборі критерію важливо, аби його істотні кількісні оцінки мали місце для всіх помітних станів об'єкту досліджень.
Ефективність і універсальність критерію оптимізації (а це означає, що він досить добре відображає особливості функції мети, всесторонньо характеризує якість об'єкту досліджень) сприяють пошуку найкращих рішень.
На практиці інколи доводиться мати справу з критеріями оптимізації, які характеризуються випадковими функціями. Тут підвищується вірогідність істотних помилок в розрахунках по формулах математичної статистики, оскільки можливе порушення однієї з основних передумов математичної статистики - незалежності оцінок. У таких ситуаціях інколи передбачають стаціонарність випадкових функцій і застосовують статистичні характеристики, усереднені в часі. До проведення основного експерименту визначають інтервал між незалежними вимірюваннями, який потім враховується при виборі умов експерименту, що забезпечують незалежність спостережень.
Боротьбу нестаціонарною зміною критерію оптимізації в часі (дрейфом) при постійних значеннях чинників ведуть за допомогою спеціальних прийомів в процесі планування експерименту (планування ортогональне до дрейфу і т. п.).
Якщо є складнощі при виборі критерію оптимізації, то приймають різні, залежно від вигляду і причин труднощів, міри: перетворять параметри оптимізації, переходять від загального завдання до серії послідовних завдань і так далі. Перетворення параметрів оптимізації здійснюється із-за технічних труднощів і в тих випадках, коли передбачається, що це сприяє ефективності пошуку, оскільки знижує порядок поліноміальної моделі.
Логарифмічне перетворення критерію оптимізації зазвичай має сенс при розгляді об'єктів досліджень, пов'язаних з хімічною кінетикою (відомо, що швидкість хімічних реакцій є експоненціальною функцією температури). Перехід до нових критеріїв оптимізації за допомогою логарифмування виявився також корисним в тих випадках, коли в області експерименту величина критерію оптимізації (до логарифмування) міняється на декілька порядків.
Якщо прямі критерії оптимізації важко визначити або неможливо виміряти, то корисно розглянути питання про непрямі критерії. Непрямі критерії самі по собі не характеризують ефект оптимізації, але по зміні їх величини можна судити про передбачуваний напрям зміни основних критеріїв.
Постановка завдання дослідження в умовах, коли важко мати один головний критерій, нерідко помітно полегшується при використанні серії приватних критеріїв, що характеризують послідовні стадії роботи по оптимізації. При цьому інколи корисною є переформулювання завдання від однієї стадії до іншої.
Вживання економічних критеріїв на завершальній стадії роботи відповідає загальній постановці завдань оптимізації. Адже останні пов'язані найчастіше з розробкою і експлуатацією реальних технологічних процесів, а це вимагає певних матеріальних витрат і у свою чергу сприяє здобуттю (чеканню) певного економічного ефекту, який залежить від кількості і якості продукції, що випускається.
При оцінці економічної ефективності виробництва зазвичай враховують цілий ряд показників (собівартість продукції, продуктивність, прибуток, капітальні витрати, рентабельність, фондовіддача і т. д.). Але, як вказувалося вище, при оптимізації бажано мати єдиний критерій. У зв'язку з цим, одній з основних проблем, пов'язаних з постановкою завдань оптимізації, є проблема формування єдиного узагальненого показника економічної ефективності, який відображав би всі її основні приватні аспекти і дозволяв би зіставити їх (порівняти виграш завдяки поліпшенню одних показників з програшем у зв'язку з одночасним можливим погіршенням інших).
Зупинимося на особливостях вирішення завдань, зв'язаних з врахуванням декількох технологічних критеріїв. При постановці таких завдань перш за все прагнуть знайти можливості для переходу від декількох критеріїв до одного узагальненого технологічного критерію. Якщо при цьому не удається добитися успіху, то розглядають питання про скорочення числа критеріїв до мінімуму, а потім вирішують компромісні завдання - ведуть пошук оптимуму по одному критерію, прийнятому за основний, а для останніх вибирають необхідні обмеження.
Відомо декілька підходів до вибору узагальненого технологічного критерію. Так, в деяких роботах при пошуку оптимуму з врахуванням декількох приватних критеріїв використовують узагальнений критерій у вигляді суми квадратів «порушень» обмежень при русі по основному критерію. У ряді праць комплексним технологічним критерієм застосовували узагальнену функцію бажаності, яка враховує всі приватні критерії.
Функція бажаності (D) - це середнє геометричне бажаностей окремих приватних критеріїв ( 
). При оцінці, наприклад якості матеріалу по сумі показників, що характеризують його властивості, величину D знаходять з врахуванням бажаності окремих властивостей. При цьому розглядають два варіанти узагальненого критерію: у першому беруться до уваги вимоги до якості матеріалу з боку його виробника і споживача одночасно, а в іншому - лише вимоги споживача матеріалу, сформульовані з врахуванням умов експлуатації останнього.
Узагальнена функція бажаності визначається з вираження:
де, m - число даних приватних критеріїв оптимізації;
, 
, 
,…, 
- бажаності окремих приватних критеріїв.
Для побудови узагальненої функції бажаності необхідно перетворити виміряні приватні критерії оптимізації ( 
, 
,…, 
) з врахуванням безрозмірної шкали бажаності.
Це завдання можна вирішити графічно. Шкала бажаності для окремих 
має різний вигляд залежно від вигляду обмежень, прийнятих для відповідних критеріїв оптимізації.
Якщо не удалося знайти узагальнений технологічний критерій, то спочатку вивчають питання про можливість зниження числа даних критеріїв, а потім вирішують компромісні завдання.
При відсіюванні критеріїв часто застосовують методи кореляційного аналізу і теорії графів. Кореляційний аналіз дозволяє оцінити зв'язки між окремими критеріями, результати цього аналізу представляють у вигляді графа. Теорія графів дає можливість виділити послідовність критеріїв, що враховує силу зв'язку між ними, методом, який називається завданням про лідера.
За наявності двох і більш критеріїв, що мають тісний кореляційний зв'язок, можна при постановці завдання розглядати лише один з них і виключити інші, оскільки їх облік при проведенні експерименту не дозволяє отримати додаткової інформації про об'єкт досліджень.
Критерій усередині групи взаємозв'язаних критеріїв вибирають, зважаючи на сумарний вплив кожного критерію групи на останніх, а також точність і трудомісткість оцінки кожного критерію. Критерії мають бути випадковими величинами з нормальним законом розподілу, причому кращими вважаються критерії, які мають малу дисперсію відтворюваності і більший коефіцієнт варіації. Для окремого критерію дисперсію відтворюваності порівнюють з дисперсією його зміни в дослідах за допомогою критерію Фішера. Чим більше величина критерію Фішера, знайдена розрахунковим шляхом, відрізняється від його табличного значення, тим вище чутливість даного критерію до зміни чинників в порівнянні з чутливістю до помилки експерименту.