Врахування випадкового відхилення

Для одержання якісних оцінок істотну роль грає виконання певних передумов МНК для випадкових відхилень. Найбільш важливі з них вимагають, щоб відхилення uі були нормально розподіленими випадковими величинами з нульовим математичним сподіванням і сталою дисперсією s2 , а також не корелювали один з одним.

Для опису можливих проблем із випадковим відхиленням скористаємося моделлю Y = аХβ, доповнивши її випадковим фактором, який може входити у співвідношення по-різному. Розглянемо три можливих випадки: Y = аХ βеи (*) Y = аХ βu (**) Y = аХ β + u (***)

Дані моделі є нелінійними щодо параметрів (точніше, параметра β) При логарифмувавши кожне із цих співвідношень, відповідно одержимо:

1п Y = β0 + β 1пХ + u, (#)

1п Y = β0 + β 1пХ + 1п u, (# #)

1п Y = 1п (аХ β + u). (# # #) .

· Використання (#) для оцінки параметрів в (*) не викликає ускладнень, пов'язаних із випадковим відхиленням.

· Перетворення (**) до (# #) призводить до перетворення випадкових відхилень uі у 1п uі. Використання МНК в (# #) вимагає, щоб відхилення 1п uі задовольняли передумовам МНК: N(0, s2).

· Логарифмування співвідношення (***) не призводить до лінеаризації співвідношення щодо параметрів.

Лабораторна робота № 3 «Оцінювання параметрів нелінійної моделі»

Мета роботи:

1. Лінеаризація нелінійної моделі.

2. Оцінювання параметрів лінеаризованої моделі на основі МНК.

3. Вибір між лінійною та нелінійною специфікацією моделі.

Завдання:

1. Розрахувати різні види економетричних моделей між факторами Y, Х1, Х2:

· однофакторна: лінійна, поліноміальна, показникова;

· багатофакторна: лінійна, показникова.

2. Провести аналіз отриманих результатів на статистичну значущість.

3. Обрати кращу модель для прогнозування значень залежного фактора.

 

Y – обсяг молочної продукції (тис. т) , запропонованої на ринку,

Х1 – витрати на податки( ум. гр. од.) , Х2 – ціна за 1 л молока ( ум. гр. од.)

Y Х1 Х2
3,600 1,470 1,200
3,800 1,200 1,000
3,800 1,140 0,900
5,300 1,080 1,200
5,600 1,050 1,300
5,700 0,900 1,400
5,800 0,840 1,500
6,300 0,780 1,600
6,600 0,750 1,200
7,100 0,630 1,100
7,600 0,580 1,100
8,100 0,570 1,200
8,600 0,570 1,000
9,100 0,540 2,000
9,600 0,510 1,900

 

ЛІНIЛИ ЛИНЕЙН -6,172 11,629
    0,620 0,550
    0,884 0,676
    99,144 13,000
    45,332 5,944

1. Лінійна модель парної регресії: Ŷ = Х+ û

 

 

Лінійна модель парної регресії:

Ŷ = x + û = 11,629 – 6,117 х + û,

2. Коефіцієнт детермінаціїR2 = 0,884: на 88,4% зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки, 11,6 % припадає на невраховані фактори.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > Fтаб =4,67 − модель є статистично значущою.

4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів ậ0 та ậ1 моделі за Т- критерієм: t ậ0 = 11,63 / 0,55 = 21,145, t ậ1 =6,172 / 0,62 = 9,95 > tтаб =2,160

 

− оцінки параметрів моделі ậ0 та ậ1 є статистично значущими.

 

2. Квадратична модель парної регресії:Ŷ = Х + Х2 + û,

Проводимо лінеаризацію моделі - вводиться заміна Х2 = Z, в результаті чого модель матиме вигляд: Ŷ = Х + Z + û, параметри якої можна розрахувати за допомогою функції «ЛІНIЙН»:

 

Х Z=X^2 Y Yм u = Y- Ŷ u^2 Y-Yс (Y-Yс)^2
1,47 2,161 3,600 3,652 -0,052 0,003 -2,840 8,066
1,20 1,440 3,800 4,141 -0,341 0,116 -2,640 6,970
1,14 1,300 3,800 4,357 -0,557 0,310 -2,640 6,970
1,08 1,166 5,300 4,611 0,689 0,474 -1,140 1,300
1,05 1,103 5,600 4,753 0,847 0,718 -0,840 0,706
0,90 0,810 5,700 5,607 0,093 0,009 -0,740 0,548
0,84 0,706 5,800 6,017 -0,217 0,047 -0,640 0,410
0,78 0,608 6,300 6,466 -0,166 0,027 -0,140 0,020
0,75 0,563 6,600 6,704 -0,104 0,011 0,160 0,026
0,63 0,397 7,100 7,757 -0,657 0,431 0,660 0,436
0,58 0,336 7,600 8,241 -0,641 0,411 1,160 1,346
0,57 0,325 8,100 8,341 -0,241 0,058 1,660 2,756
0,57 0,325 8,600 8,341 0,259 0,067 2,160 4,666
0,54 0,292 9,100 8,648 0,452 0,204 2,660 7,076
0,51 0,260 9,600 8,964 0,636 0,404 3,160 9,986
          3,291   51,276
5,393 -16,211 15,830 ЛІНI        
1,734 3,263 1,416          
0,936 0,524 #Н/Д          
87,488 12,000 #Н/Д Y cер Yс =6,440   R2 R2=0,936
47,985 3,291 #Н/Д          
               

1. Квадратична модель парної регресії: Ŷ = 15,83 -16,21∙Х + 5,393∙Х2 + û,

2. Коефіцієнт детермінаціїR2 = 0,936: на 93,6 % зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки (ум.гр.од.), 6,4 % припадає на невраховані фактори. Причому значення коефіцієнта детермінації, розраховані за означенням і за допомогою функції «ЛІНIЙН», співпадають.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > Fтаб = 3,89 − модель є статистично значущою.

4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів ậ0 , ậ1 та ậ2 моделі за Т- критерієм: tậ0 = 15,83 / 1,416 = 11,179, tậ1 =16,211 / 3,263 = 4,97, tậ2= 5,393 /1,734 = 3,11 > tтаб =2,179 − оцінки параметрів моделі ậ0 , ậ1 та ậ2 є статистично значущими.

 

 

· Показникова модель: Ŷ =

Для дослідження моделі Ŷ = проводиться лінеаризація − логарифмування залежності: .

Для використання функції ЛIНIЙН, робиться заміна:

Z = lnŶ, = , = , = ,

отримуємо модель простої регресії Z = ,

За МНК (функцією «ЛИНЕЙН») можна визначити незміщені оцінки коефіцієнтів і .

Але коефіцієнт детермінації розраховується не для фактичних зміннихYі Х, а для їхлогарифмів. Тобто для оцінювання якості розрахованої моделі потрібно додатково розрахувати коефіцієнт детермінації:

R2 = 1- = , Dу = , = .

№ п/п Х Y Y- (Y- )2
               
Σ           → 0  

 

 

При цьому функція ЛIНIЙН виводить значення змінних та і тому потрібно знайти значення та , де , а . Коефіцієнт є константою, яка характеризує сталу, тобто процентну, зміну Y для даної процентної зміни X.

X V = ln x Y Z = ln Y Y Yм u^ =Y-Yл (u^)2 Y - Yс (Y-Yс) 2
1,47 0,385 3,600 1,281 3,600 3,536 0,064 0,004 -2,840 8,066
1,20 0,182 3,800 1,335 3,800 4,249 -0,449 0,202 -2,640 6,970
1,14 0,131 3,800 1,335 3,800 4,451 -0,651 0,424 -2,640 6,970
1,08 0,077 5,300 1,668 5,300 4,675 0,625 0,391 -1,140 1,300
1,05 0,049 5,600 1,723 5,600 4,796 0,804 0,647 -0,840 0,706
0,90 -0,105 5,700 1,740 5,700 5,514 0,186 0,035 -0,740 0,548
0,84 -0,174 5,800 1,758 5,800 5,870 -0,070 0,005 -0,640 0,410
0,78 -0,248 6,300 1,841 6,300 6,277 0,023 0,001 -0,140 0,020
0,75 -0,288 6,600 1,887 6,600 6,505 0,095 0,009 0,160 0,026
0,63 -0,462 7,100 1,960 7,100 7,617 -0,517 0,268 0,660 0,436
0,58 -0,545 7,600 2,028 7,600 8,210 -0,610 0,372 1,160 1,346
0,57 -0,562 8,100 2,092 8,100 8,340 -0,240 0,058 1,660 2,756
0,57 -0,562 8,600 2,152 8,600 8,340 0,260 0,067 2,160 4,666
0,54 -0,616 9,100 2,208 9,100 8,759 0,341 0,116 2,660 7,076
0,51 -0,673 9,600 2,262 9,600 9,225 0,375 0,141 3,160 9,986
              Сума 2,739   Сума 51,276
  ЛІНIЛИНЕЙН                
-0,906 1,612   a0ааа а0 = 5,01          
0,068 0,027   a1 а1= -0,91          
0,932 0,085   R2 R2= 0,95          
179,075 13,000                
1,307 0,095                

 

 

1. Показникова модель парної регресії: Ŷ = 5,112 ∙Х -0,906 ∙ ,

2. Коефіцієнт детермінаціїR2 = 0,947: на 94,7 % зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки (ум. гр. од. ), 5,3 % припадає на невраховані фактори.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > Fтаб = 3,89 − модель є статистично значущою.

4. Коефіцієнт = - 0,906 є константою, яка характеризує сталу, тобто процентну зміну Y для процентної зміни фактора Х1 – витрат на податки.

 

4.Лінійна економетрична багатофакторна модель: Y = а0 + а1 X1 + а2X2 + u.

За МНК (функцією «ЛИНЕЙН») можна визначити незміщені оцінки коефіцієнтів цієї моделі

1,09 -5,69 9,80
0,55 0,61 1,05
0,91 0,61 #Н/Д
62,53 12,00 #Н/Д
46,79 4,49 #Н/Д

 

 

1. Лінійна модель множинної регресії:

Ŷ = Х1 + Х2 + û = 9,80 – 5,69 Х1 + 1,09 Х2 + û,

2. Коефіцієнт детермінаціїR2 = 0,91: на 91% зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки і ціною молока, 9 % припадає на невраховані фактори.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > Fтаб =3,89 − модель є статистично значущою.

4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів моделі ậ0 , ậ1 та ậ2 моделі за Т- критерієм: tậ0 = 9,80 / 1,05 = 9,33, tậ1 =5,69 / 0,61 = 9,32 7> tтаб =2,179,

tậ3 = 1,09 /0,55 = 1,98 < tтаб =2,179

− оцінки параметрів моделі ậ0 та ậ1 є статистично значущими,

оцінка параметру ậ2 є статистично незначущою.

Висновок: Результати лабораторної роботи вказують на те, що найдоцільнішою для використання є нелінійна економетрична багатофакторна модель, коефіцієнт детермінації якої є найбільшим, він дорівнює 0,957.