Решая систему нормальных уравнений (10.98) (для этого

Можно использовать, например, способы Крамера или Гаус-

са), находим ln a и ln b, а затем определяем искомые парамет-

ры a и b.

Применим метод Крамера. Найдем определитель системы

(10.98):

.

Затем определяем

Находим натуральные логарифмы искомых параметров:

(10.99)

Используя таблицу (10.13) исходных данных составим сис-

Тему (10.98)

n = 10;

Таким образом, получаем:

Находим определитель системы:

.

Вычисляем определители:

Теперь по формулам (10.99) находим натуральные лога-

рифмы искомых параметров:

Зная логарифмы, вычисляем сами параметры:

a ≈ 1,15438 ≈ 1,15; b ≈ 0,991057 ≈ 0,99.

Таким образом, искомое уравнение регрессии будет иметь

Вид

. (10.100)

Используя формулу (10.100) найдем выравненные (теоре-

тические) значения результативно признака y:

Все эти вычисления выполнены правильно, но должен вы-

полняться арифметический контроль: .

В нашем случае имеем:

То есть арифметический контроль выполнен, а имеющееся

Расхождение объясняется ошибками округления.

Нанесем выравненные значения на поле корреляции,

т. е. на рис. 10.3 (сплошная линия). По формуле (10.31) находим

среднюю ошибку аппроксимации:

(21,5%).

Так как связь между признаками y и x криволинейная, то

Мера ее близости (тесноты) определяется с помощью теоре-

Тического корреляционного отношения по формуле (10.34). По

данным нашего примера получаем оценку ηТ ( ):

, где

Поэтому имеем:

Квадрат теоретического корреляционного отношения, как

Мы уже говорили, носит название коэффициента детерминации.

В нашем случае его оценка равна , или 37,9%, т. е. на

37,9% вариация результативного признака (y) обеспечивается

вариацией выбранного нами для модели признака фактора (x).

Комплексная задача и теории статистики

Задание. По данным каталога инвестиционных проектов

Северо-Западного региона РФ в 2007 г. известны 16 проектов

Ленинградской области, характеризующихся следующими по-

казателями:

W1 — объем инвестиций (млн. руб.);

W2 — срок окупаемости (г.);

W3 — чистый дисконтированный доход (млн. руб.);

W4 — внутренняя норма доходности (%);

Исходные данные представлены в табл. 10.14.

Таблица 10.14

Значение показателей эффективности проектов

№

Проекта

Объем

Инвестиций

(W1)

Срок

Окупаемости

(W2)

Чистый дис-

Контированный

Доход (W3)

Внутренняя

Норма доход-

Ности (W4)

1 37,5 5 1,1 30

2 9,2 4,2 1 33

3 9,2 6 1,2 36

4 7,2 9,2 1,21 24

5 2,4 6 0,25 18

6 11,7 9,6 1,24 17

7 8,3 2,7 1,1 30

8 3 4,8 1,39 20

9 6,9 2,5 0,64 21

10 10,8 3,3 1,79 21

11 30 7,8 1,8 33

12 11,4 3,6 0,58 33

13 15,6 2,4 1,24 24

14 12 2,4 1,1 12,5

15 5 3,6 1,9 12,5

16 2,5 3 0,68 24

Требуется:

Используя методологию регрессионного анализа, найти

Аналитическую зависимость и рассчитать уравнение парной

Регрессии, а также зависимость срока окупаемости, чистого

Дисконтированного дохода и внутренней нормы доходности, со-

ответственно, от объема инвестиций, т. е. определить W2 = f(W1),

W2 = f(W3) и W2 = f(W4).

Применяя методологию корреляционного анализа, опре-

Делить коэффициенты корреляции зависимостей, выведенных

По п. 1. Выявить наиболее значимые факторы, влияющие на

Срок окупаемости (W2).

В полученном при вычислениях п. 2 уравнении много-

Факторной регрессии определить коэффициент множествен-

Ной регрессии и параметры модели.

Проверить адекватность рассчитанной модели с исполь-

Зованием коэффициента множественной регрессии.

Используя методологию многофакторного дисперсион-

ного анализа (для данных табл. 10.15), оценить существенность

вклада в срок окупаемости: A — типа региона; B — номера ин-

Тервала диапазона изменений объема инвестиций.

Применим к комплексной задаче основы

Регрессионного анализа

В практике статистических исследований наибольшее

Распространение получили однофакторные линейные модели,

Широко используемые при прогнозировании развития эконо-

Мических систем. Примером служит следующая аналитичес-

кая зависимость:

y = a0 + a1x, т. е. уравнение регрессии.

Коэффициенты a0 и a1, уравнения регрессии рассчитыва-

Ются по методу наименьших квадратов (МНК) с использовани-

ем следующих аналитических зависимостей:

Производим необходимые расчетные процедуры по на-

хождению параметров следующих уравнений регрессии:

1. W2 = f(W1); W2 = f(W3); W2 = f(W4);

2. W3 = f(W2);

3. W4 = f(W3).

Таблица 10.15

Исходные данные инвестиционных проектов субъектов Федерации

Субъек ты

Федера-

Ции

№ п/п

Ленинг-

Радская

Область

Кировская

Область

Псковская

Область

Республика

Карелия

Новгородс-

Кая область

Калинин-

Градская

Область

Воло-

Годская

Область