Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где - положительные числа
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где
- положительные числа.
Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.
Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости
, поэтому
.
Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью
. На этой плоскости
, поэтому
.
Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна
, а мнимая полуось равна
. Построим эту гиперболу (рис. 11).
Рис. 11.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью
Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением
. Построим гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью
(рис.12).
Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями . Уравнения этих линий
Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если . Если
или
, то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку
или
. Эти точки называются вершинами гиперболоида.
Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду
Введём обозначения ,
, тогда уравнение примет вид
Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия
и полуосями
и
. Нарисуем полученные сечения (рис. 12).
Рис. 12 Изображение двуполостного. Рис. 13. Двуполостный гиперболоид. Рис. 14 Двуполостный гиперболоид
гиперболоида с помощью сечений вращения
Если в уравнении , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости
, являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости
, вокруг оси
(рис.14).
Конус