Параллельный перенос системы координат
Так же как и на плоскости, в пространстве можно выполнить параллельный перенос системы координат. Пусть в пространстве заданы две декартовы прямоугольные системы координат: "старая" с началом в точке 
и осями 
, 
, 
и "новая" с началом в точке 
и осями 
, 
, 
, причем оси одной системы координат соответственно параллельны осям другой системы и одинаково с ними направлены. Будем говорить, что вторая система координат получена из первой параллельным переносом.
Пусть начало новой системы координат имеет в старой системе координаты 
. Пусть 
- некоторая точка пространства с координатами 
в старой системе координат и 
- в новой системе координат. Тогда связь между "старыми" и "новыми" координатами точки задается формулами, аналогичными формулам
.
Пусть некоторая поверхность задана уравнением
Тогда в системе координат с началом в точке 
и осями , , , полученной параллельным переносом, уравнение поверхности будет иметь вид 
.
Пример 2. Построить поверхность 
.
Решение. Выделим полные квадраты по переменным 
, 
и 
.
Введем новую систему координат с началом в точке 
, получающуюся из старой параллельным переносом. в новой системе поверхность задается уравнением
Данное уравнение отличается от канонического уравнения однополостного гиперболоида тем, что поменялись ролями оси ординат 
и аппликат ( ). Не переобозначая осей, произведем построение поверхности с помощью сечений. В сечении плоскостью 
получаем эллипс
Его полуоси равны 1 и 2 и лежат соответственно на осях и . В сечении плоскостью 
получаем гиперболу с уравнением
Ее мнимая ось лежит на оси , а действительная ось лежит на оси , полуоси соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью 
получаем равностороннюю гиперболу
Ее мнимая ось лежит на оси , а действительная ось лежит на оси , обе полуоси равны 2. Для большей наглядности нарисуем еще два сечения плоскостями параллельными плоскости . В сечениях получим эллипсы, подобные эллипсу в плоскости . По рассмотренным сечениям можно представить себе форму гиперболоида и его расположение в пространстве
Рис. 33.Изображение поверхности с помощью сечений Рис. 34.Объемное изображение поверхности.